Реферат: Симметрия молекул и кристаллов

D_2nh ={D_2n , s _h }=D_nh *C_i .

Отсюда следует, что число классов в D_nh равно удвоенному числу классов в D_n . Половина из них совпадает с D_n , а другая половина получается из первых умножением на s_h . Отражения в s_v все относятся к одному классу (если n - нечетно) и к 2 классам (если n четно). Например, в группе D_3h элементы симметрии: C₃ , s_h , 3 s_v , 3C₂ ; Преобразования (элементы группы): E, C₃ ¹ ,C₃ ² ; 3C₂ ; s_h ; S₃ ¹ ,S₃ ² ; 3 s_v .

10. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ D_nh ={D_n ,s _d }. Поскольку D_nh уже содержит вертикальные плоскости, проходящие через оси C₂ , то единственно возможный другой путь добавления другой плоскости к D_n , при котором система преобразуется сама в себя, - это поместить эту плоскость по биссектрисе угла между двумя соседними осями. Эта плоскость диагональна - d . Эта плоскость требует присутствия еще n-1 таких же плоскостей. Такие диагональные плоскости отражают две соседних двукратных оси одну в другую, т.е. все двукратные оси становятся эквивалентными как для четного, так и для нечетного n . Подобным же образом и все плоскости оказываются эквивалентными. Поскольку угол между плоскостью и осью всегда является нечетным числом p/2n , в случае n нечетного одна из плоскостей перпендикулярна к одной из двукратны осей. Значит при n=2p+1 система имеет центр симметрии. Для D_nd с четным n имеем следующие классы:

1. Е ;

2. Вращение на угол p вокруг 2p кратной оси;

3. p-1 классов сопряженных вращений вокруг С_{2 p} ;

4. один класс 2p вращений на угол p ;

5. один класс 2p отражений в s_d ;

6. p классов сопряженных вращательных отражений. Итого всего: 1+1+ [p-1] +1+1+p=2p+3 .

Пример - молекула C₂ H₆ . Симметрия D_3d . Элементы симметрии: C₃ , 3C₂ , S₆ , I, 3 s_d . Операции: E; C₃ ¹ , C₃ ² ; 3C₂ ; I; S₆ ¹ , S₆ ³ ; 3 s_d .

Группа D_2p+1,d имеет центр инверсии, а потому имеет в классов в два раза больше, чем D_2p+1 т.е.2p+4 .

11. ГРУППА ТЕТРАЭДРА Т_d ={V_d ,C₃ } . Группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра. Шесть плоскостей, проходят через ребра и медианы противоположных граней и содержат ось C₃ . Поэтому C₃ ¹ и C₃ ^-1 ºC₃ ² сопряжены. Двукратные оси группы Т тоже становятся эквивалентными четырехкратным зеркально-поворотным осям, поскольку образующая группа V_d . Всего 24 элемента разбиты по следующим 5 классам: E; 8C₃ , 6 s, 6S₄ , 3C₂ .

12. ГРУППА ТЕТРАЭДРА Т_h ={V_h ,C₃ } . Поскольку V_h имеет центр инверсии, T_h ={T, I} . Классов в этой группе поэтому в два раза больше чем в группе T : E, 4C₃ ¹ , 4C₃ ² , 3C₂ , I, 4S₆ ¹ , 4S₆ ³ , 3S₄ . В результате инверсии появляются 3 взаимно-перпендикулярных плоскости симметрии, проходящие через каждые две оси второго порядка, а оси третьего порядка становятся зеркально-поворотными 6 -го порядка.

13. ГРУППА ОКТАЭДРА O_h ={O, I} . Это есть группа всех преобразовании куба. Она получается из O добавлением центра инверсии. Поэтому ее можно представить как O_h =O*C_i . Оси третьего порядка превращаются в зеркально-поворотные оси 6-го порядка. Появляется еще 6 плоскостей, проходящих через пару противоположных ребер, и три, параллельные граням. Группа содержит 48 элементов, 10 классов, которые непосредственно могут быть получены из группы O .

14. ГРУППА ИКОСАЭДРА P={P, I} . P_h =PC_i . (правильный 20 -гранник c треугольными гранями)

C - НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ

Помимо конечных точечных групп следует рассмотреть непрерывные точечные группы с бесконечным числом элементов. Это группы аксиальной или сферической симметрии. Простейшей группой является группа C , содержащая повороты C ( j) на произвольный угол j . Это предельный случай С_n при n ® ¥ бесконечности. Аналогично, в качестве предельных групп C_nh , C_nv , D_n , D_nh получаются соответствующие непрерывные группы. Молекула, обладающая аксиальной симметрией, должна состоять из атомов, расположенных на линии. При этом, если она не симметрична относительно своей середины, ее точечная группа будет C _¥v , поскольку кроме поворотов существуют отражения в плоскостях s_v . Если же молекула симметрична относительно своего центра, то ее точечная группа D _¥h =C _¥v *C_i . Поэтому группы D _¥h , C _¥h , D _¥ , не могут осуществляться в качестве групп симметрии молекул. Электрическое поле E (полярный вектор) имеет симметрию C _¥v . Магнитное поле H (аксиальный вектор) имеет симметрию C _¥h .