Реферат: Симметрия молекул и кристаллов
что по определению содержится в {G,A}. Операция А и ее степени могут преобразовывать такие элементы G один в другой, которые не эквивалентны по отношению к операциям из G . Поэтому не следует ожидать, что классы группы вращения будут идентичны с классами группы второго рода, полученными из нее. Это, однако будет иметь место, если A=I , т.к операция инверсии I может лишь преобразовывать каждый отдельный элемент группы G сам в себя. Поскольку инверсия коммутирует с любой другой операцией, класс группы {G, I} получается из класса группы G умножением каждого (сопряженного) элемента на I , т.к Gk Gj (Gk ) - 1 =Gn предполагает Gk IGj (Gk) - 1 =IGn .
Поэтому группа {G, I} имеет вдвое больше классов, чем G . Может быть показано, что представленный метод построения действительно приводит по всем возможным группам симметрии. Далее можно доказать, что если группа имеет более, чем одну ось симметрии порядка выше второго, то ее система осей идентична с системой осей правильного многогранника. Единственные правильные многогранники суть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Из них куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр имеют по одинаковому набору осей симметрии.
Классификация групп симметрии
Мы начнем с рассмотрения групп вращения, а затем добавим к ним элементы симметрии второго рода.
A. ГРУППЫ ВРАЩЕНИЯ
1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Сn . Это простейший возможный вид симметрии, который содержит одну ось n -го порядка. Группа циклическая. Каждый из n элементов составляет класс, поскольку операции коммутативны.
2. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ Dn ={Cn ,C2 } . Добавим к n -кратной оси перпендикулярную ось С2 . Это, естественно, вызывает (генерирует) появление еще n-1 осей С2 в плоскости, перпендикулярной оси Сn , причем угол между осями равен p/n . Группа Dn содержит 2n элементов: n поворотов вокруг Cn и n поворотов вокруг n горизонтальных осей С2 . Ось Сn является двухсторонней.
Горизонтальные же оси все эквивалентны, если n -нечетно, и составляют 2 неэквивалентных набора, если n четно. Действительно, при последовательном применении операции ось C2 переходит последовательно в оси
C2 Þ C2 (2) Þ C2 (4) Þ… Þ C2 (2 p) Þ- C2 (-1) Г Þ… Þ- C2 (2 p-1) Þ- C2,
т.е. все они эквивалентны и 2p+1 вращения вокруг них на p входит в один класс. Следовательно группа имеет p+2 классов: Е , 2p+1 поворотов вокруг C2 и p классов по два поворота (C2p+1 k , C2p+1 -k ) вокруг вертикальной оси Сn . Для группы с четными n т.е. для D2p можно показать, что никакая ось с четным номером не перейдет в ось с номером нечетным.
C2 Þ C2 (2) Þ C2 (4) Þ… Þ C2 (2 p-2) Þ C2 (2 p) =- C2 Þ- C2 (2) Þ… Þ- C2
Имеется два типа неэквивалентных осей С2 . Число классов поэтому равно p+3 : Е ; 2 класса по p поворотов на p в каждом, которые соответствуют неэквивалентным осям С2 , p классов по 2 поворота (C2p k ,C2p -k ) вокруг оси Сn .
Частный случай D2 =V - три взаимно перпендикулярных оси С2 , идентичных с декартовой системой координат.
3. ТЕТРАЭДРИЧЕСКАЯ ГРУППА T={V,C3 } . Это группа симметрии осей правильного тетраэдра. Имеет оси 3C2 и 4C3 ; классы: E ; 3C2 ; 4C3 1 ; 4C3 2 .
4. ГРУППА ОСЕЙ ОКТАЭДРА (КУБА) O={Т,C2 } . Элементы симметрии 3C4 , 4C3 , 6C2 . Все оси одинаковой кратности (т.е. одного порядка) - эквивалентные, т.е. операции Сn k и Cn -k сопряжены. Классы группы О: Е; 8C3 1 , 6C4 1 , 3C4 2 , 6C2 .
5. ГРУППА ИКОСАЭДРА Р (стандартного символа нет). Группа имеет следующие элементы симметрии: 6C5 , 10C3 , 15C2 и включает в себя 60 преобразований (операций симметрии).
В. ГРУППЫ ВТОРОГО РОДА.
Если к вращательной группе G добавит подходящее отражение, получим новую группу {G, s} . Поскольку s2 =E , эти группы второго рода имеют одинаковое число вращений простых и вращений с отражением. При добавлении последующих плоскостей в необходимо, чтобы пересечение двух плоскостей, которое является осью Сn , обязательно входило бы в группу G . Хотя инверсия не является самостоятельной основной операцией и входит в группы {G, s}, однако часто удобно указывать имеет группа центр инверсии или нет, ибо тогда очень просто получать классы. Таким образом можно получить все остальные группы. Будем считать, что главная n- кратная ось идет вертикально. Как всегда значок v - вертикальных плоскостей, h - горизонтальных.
6. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Сnh ={Cn , sv } . Все операции в группе коммутируют. Группы имеют столько же классов, сколько и элементов. Если n -четно, то имеется центр инверсии, т.к C2n n sv =I . Элементы Сn k и Сn k sv .
Частные случаи:
a) C1 h : sv =Cs ;
b) C2h : E, C2 , s v , C2 s v =I;
c) C3h : E, C3 1 , C3 2 , s v , C3 1 s v =S3 1 , C3 2 s v =S3 2 .
5. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Сnv ={Cn , sv } . Если к оси Сn присоединить плоскость sv , появляются еще (n-1) вертикальных плоскостей с углом между ними p/n . Группа содержит 2n элементов: n поворотов вокруг оси Сn и n отражений в n различных плоскостях sv . Ось Сn двусторонняя, т.е. Сn k сопряжено с Cn -k . Если n - нечетно (n=2p+1) число классов равно p+2 , поскольку плоскости эквивалентны. Классы этой группы: Е , p классов поворотов вокруг оси Сn по 2 элемента в каждом, и 1 класс отражений в эквивалентных плоскостях sv . Если n - четно (n=2p), то имеются 2 типа неэквивалентных плоскостей sv . Число классов p+3 : Е, p классов поворотов вокруг оси Сn по два элемента в каждом, 2 класса отражений в плоскостях sv .
6. ГРУППЫ Sn ={Sn } . Группы операции, единственным элементом симметрии которых является зеркально-поворотная ось n -го порядка Sn =Cn sv . Поскольку зеркально-поворотная ось может быть только четного порядка, то легко видно, что группы Sn только четного порядка, ибо для нечетных n зеркально-поворотная ось эквивалентна более простым операциям.
S2p+1 ={C2p+1 , s v }=C2p+1,h
S4p+2 ={C2p+1 , I}=C2p+1, i
В частности группа S2 имеет 2 элемента Е и I .
7. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ Dnh ={Dnh , sh } Если к диэдральной группе Dn добавить горизонтальную плоскость sh , то ее присутствие требует n вертикальных плоскостей, проходящих через оси С2 (ось второго порядка и две взаимно перпендикулярные плоскости всегда присутствуют вместе). Поскольку s коммутативно со всеми элементами Dnh можно записать как
Dnh ={Dn , sh }=Dn *Cs .