Реферат: Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как и дивергенция левой части, всегда будет равна нулю.

Заменив в (3.7) согласно (3.2) через , получим следующее выражение для дивергенции тока смещения:

. (3.8)

Чтобы связать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемся соотношением:

Продифференцировав это соотношение по времени, получим:

Теперь поменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координа -там. В результате придём к следующему выражения для производной по .

.

Подстановка этого выражения в формулу (3.8) даёт:

.

Отсюда

(3.9)

Подставив выражение (3.9) в формулу (3.6), придём к уравнению

.

Каждое из векторных уравнений (1) и (3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств. Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальных операторов, можно записать их в следующем виде:

; ; (5)

(6)

для первой пары уравнений, и:

; ; (7)

(8)

для второй.

Всего получилось 8 уравнений, в которых входят 12 функций (по три компоненты векторов , , , .) Поскольку число уравнений меньше числа известных функций, уравнений (1) - (4) недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Чтобы осуществить расчёт полей, нужно дополнить уравнения Максвелла уравнениями, связывающими и с , а также с . Эти уравнения имеют вид.

(9)

(10)

(11)

Совокупность уравнений (1) – (11) образуют основу электродинамики покоящихся сред.

Уравнения:

(12)

(13)
(первая пара) и

(14)

(15)

(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме.

Уравнение (12) получается путём интегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г , ограничивающему поверхность S . Уравнение (14) получается таким же способом из соотношения (3). Уравнения (13) и (15) получаются из соотношений (2) и (4) путём интегрирования по произвольному объёму V с последующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности S , ограничивающей объём V .

2. Граничные условия

При решении задач электродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. При переходе через эти поверхности физические свойства макроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции и являются кусочно-непрерывными функциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутри каждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах раздела двух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1) - (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, а затем полученные решения объединять с помощью граничных условий.