Реферат: Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем

=0 при (l =0),

при (l =1),

при (l >1).

Из этих уравнений находим

, .

Все остальные коэффициенты равны нуля, если .

Таким образом, решение задачи имеет вид:

(30)

Используя формулу , вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы

С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:

(31)

(32)

где - объём сферы.

Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом . Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью

(33)

Полная напряжённость внутри шара

(34)

Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля , которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.

5. Приложение.

1. Формула Остроградского – Гаусса.

Пусть f (x , y , z ) - некоторая функция , а S - замкнутая поверхность, ограничивающая объём V . На отрезке 1-2 (рис. 4), параллельном оси X , f - является функцией одного аргумента x . Интегрируя вдоль этого отрезка получим:

где и - значения функции f на концах рассматриваемого промежутка.

Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2 . Пусть dσ - площадь поперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на dσ . Так как dσdx есть элементарный объём dV , заштрихованный на рисунке, то в результате получится:

,

где dV – часть объёма V , вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть dS ₁ и dS ₂ эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S , а ₁ и ₂ –

единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S . Тогда:

dσ = d _{2 2х} = - d _{1 1х} ,

а поэтому:

или короче: где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS ₁ и dS ₂ . Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:

(35)

Интеграл справа распространён по всему объёму V , справа – по поверхности S , ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z .