Реферат: Системный анализ и проблемы принятия решений

Пример 1. Рассматривается работа промышленного предприятия под углом зрения его рентабельности, причем проводится ряд мер с целью повышения этой рентабельности Показатель эффективности — прибыль (или средняя прибыль), приносимая предприятием за хозяйственный год

Пример 2 Группа истребителей поднимается в воздух для перехвата оди­ночного самолета противника Цель операции — сбить самолет. Показатель эф­фективности — вероятность поражения (сбития) самолета

Пример 3. Ремонтная мастерская занимается обслуживанием машин; ее рентабельность определяется количеством машин, обслуженных в течение дня. Показатель эффективности — среднее число машин, обслуженных за день («сред­нее» потому, что фактическое число случайно)

Пример 4. Группа радиолокационных станций в определенном районе ве­дет наблюдение за воздушным пространством. Задача группы — обнаружить любой самолет, если он появится в районе Показатель эффективности — ве­роятность обнаружения любого самолета, появившегося в районе.

Пример 5. Предпринимается ряд мер по повышению надежности электрон­ной цифровой вычислительной машины (ЭЦВМ). Цель операции — уменьшить частоту появления неисправностей («сбоев») ЭЦВМ, или, что равносильно, уве­личить средний промежуток времени между сбоями («наработку на отказ»). По­казатель эффективности — среднее время безотказной работы ЭЦВМ (или сред­нее относительное время исправной работы).

Пример 6. Проводится борьба за экономию средств при производстве опре­деленного вида товаров. Показатель эффективности—количество (или среднее количество) сэкономленных средств.

Во всех рассмотренных примерах показатель эффективности, ка­ков бы он ни был, требовалось обратить в максимум («чем больше, тем лучше»). Вообще, это не обязательно: в исследовании операций часто пользуются показателями, которые требуется обратить не в максимум, а в минимум («чем меньше, тем лучше»). Например, в примере 4 можно было бы в качестве показателя эффективности взять «вероятность тоге, что появившийся самолет не будет обнаружен» — этот показатель же­лательно сделать как можно меньше. В примере 5 за показатель эф­фективности можно было бы принять «среднее число сбоев за сутки», которое желательно минимизировать. Если оценивается какая-то система, обеспечивающая наведение снаряда на цель, то в качестве по­казателя эффективности можно выбрать среднее значение «промаха» снаряда (расстояния от траектории до центра цели), которое желательно сделать как можно меньше. Наряд средств, выделяемых на выполнение какой-либо задачи, тоже желательно сделать минимальным, равно как и стоимость предпринимаемой системы мероприятий. Таким образом, во многих задачах исследования операций разумное решение должно обеспечивать не максимум, а минимум некоторого показателя.

Очевидно, что случай, когда показатель эффективностиW надо обратить в минимум, легко сводится к задаче максимизации (для этого достаточно, например, изменить знак величины W). Поэтому в даль­нейшем, рассматривая в общем виде задачу исследования операций, мы будем для простоты говорить только о случае, когда W требуется об­ратить в м а к с и м у м. Что касается практических конкретных за­дач, то мы будем пользоваться как показателями эффективности, кото­рые требуется максимизировать, так и теми, которые требуется мини­мизировать.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ

Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется построить ту или другую математическую модель явления. Me составляет исключения и исследование опе­раций. При построении математической модели явление (в нашем слу­чае — операция) каким-то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое количество важнейших, и полученная схема описывается с помощью того или другого математического аппарата. В результате устанавливаются количественные связи между условиями операции, параметрами решения и исходом операции — показателем эффективности (или показателями, если их в данной задаче несколько).

Чем удачнее подобрана математическая модель, тем лучше она отражает характерные черты явления, тем успешнее будет исследова­ние и полезнее — вытекающие из него рекомендации.

Общих способов построения математических моделей не сущест­вует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из целевой направленности операции и задачи научного исследования, с учетом требуемой точности решения, а также точности, с какой могут быть известны исходные данные.

Требования к модели противоречивы. С одной стороны, она долж­на быть достаточно полной, т. е. в ней должны быть учтены все важные факторы, от которых существенно зависит исход операции. С дру­гой стороны, модель должна быть достаточно простой для того, чтобы можно было установить обозримые (желательно— аналитические) зависимости между входящими в нее параметрами. Модель не должна быть «засорена» множеством мелких, второстепенных факторов — их учет усложняет математический анализ и делает результаты исследо­вания трудно обозримыми.

Одним словом, искусство составлять математические модели есть именно искусство, и опыт в этом деле приобретается постепенно. Две опасности всегда подстерегают составителя модели: первая - утонуть в подробностях («из-за деревьев не увидеть леса»); вторая - слишком огрубить явление («выплеснуть из ванны вместе с водой и ре­бенка»). В сложных случаях, когда построение модели вызывает наи­большее сомнение, полезным оказывается своеобразный «спор моделей», когда одно и то же явление исследуется на нескольких моделях. Если научные выводы и рекомендации от модели к модели меняются мало, это — серьезный аргумент в пользу объективности исследования. Характерным для сложных задач исследования операций являет­ся также повторное обращение к модели: после того, как первый цикл исследований выполнен, возвращаются снова к модели и вносят в нее необходимые коррективы.

Построение математической модели — наиболее важная и ответственная часть исследования, требующая глубоких знаний не только и не столько в математике, сколько в существе моделируемых явлений. Однако раз созданная удачная модель может найти применение и далеко за пределами того круга явлений, для которого она перво­начально создавалась. Так, например, математические модели массо­вого обслуживания нашли широкое применение в целом ряде облас­тей, далеких, с первого взгляда, от массового обслуживания (надеж­ность технических устройств, организация автоматизированного про­изводства, задачи ПВО и др.). Математические модели, первоначаль­но предназначенные для описания динамики развития биологических популяций, находят широкое применение при описании боевых дейст­вий и наоборот — боевые модели с успехом применяются в биологии.

Математические модели, применяемые в настоящее время в зада­чах исследования операций, можно грубо подразделить на два класса:

а н а л и т и ч е с к и е и с т а т и с т и ч е с к и е.

Для первых характерно установление формульных, аналитиче­ских зависимостей между параметрами задачи, записанных в любом виде: алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными и т. д. Чтобы такое аналитическое описание операции было возможно, как правило, нужно принять те или иные допущения или упрощения. С помощью аналити­ческих моделей удается с удовлетворительной точностью описать только сравнительно простые операции, где число взаимодействующих элементов не слишком велико. В операциях же большого масштаба, сложных, в которых переплетается действие огромного количества факторов, в том числе и случайных, на первый план выходит метод статистического моделирования. Он состоит в том, что процесс развития операции как бы «копируется» на вычислительной машине, со всеми сопровождающими его случайностями. Всякий раз, когда в ход опе­рации вмешивается какой-либо случайный фактор, его влияние учи­тывается посредством «розыгрыша», напоминающего бросание жребия. В результате многократного повторения такой процедуры удается по­лучить интересующие нас характеристики исхода операции с любой степенью точности.

Статистические модели имеют перед аналитическими то преиму­щество, что они позволяют учесть большее число факторов и не требуют грубых упрощений и допущений. Зато результаты статистического моделирования труднее поддаются анализу и осмыслению. Более гру­бые аналитические модели описывают явление лишь приближенно, зато результаты более наглядны и отчетливее отражают присущие яв­лению основные закономерности. Наилучшие результаты получаются при совместном применении аналитических и статистических моделей:

простая аналитическая модель позволяет вчерне разобраться в основ­ных закономерностях явления, наметить главные его контуры, а лю­бое дальнейшее уточнение может быть получено статистическим моде­лированием.

3. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ СЛУЧАЙ

Рассмотрим задачу исследования операций в общей постановке, безотносительно к виду и цели операции.

Пусть имеется некоторая операция 0 , т. е. управляемое меро­приятие, на исход которого мы можем в какой-то мере влиять, выбирая тем или другим способом зависящие от нас параметры. Эффективность операции характеризуется каким-то численным критерием или пока­зателемW, который требуется обратить в максимум (случай, когда его требуется обратить в минимум, сводится к предыдущему и отдельно не рассматривается).

Предположим, что тем или иным способом математическая модель операции построена; она позволяет вычислить показатель эффектив­ности W при любом принятом решении, для любой совокупности условий, в которых выполняется операция.

Рассмотрим сначала наиболее простой случай: все факторы, от которых зависит успех операции, делятся на две группы:

— заданные, заранее известные факторы (условия проведения опе­рации) а1, а2 ..., на которые мы влиять не можем;

— зависящие от нас факторы (элементы решения) х1, х2, ..., которые мы, в известных пределах, можем выбирать по своему усмотрению.

Этот случай, в котором факторы, влияющие на исход операции, либо заранее известны, либо зависят от нас, мы будем называть детерминированным.

Заметим, что под «заданными условиями» операцииа1,а2 ... мо­гут пониматься не только обычные числа, но и функции, в частности— ограничения, наложенные на элементы решения. Равным об­разом, элементы решения х1, х2, ... также могут быть не только числа­ми, но и функциями.

Показатель эффективности W зависит от обеих групп факторов:

как от заданных условий, так и от элементов решения. Запишем эту зависимость в виде общей символической формулы:

W=W(a1, а2,... х1, х2 ,...). (3.1)