Реферат: Системный анализ и проблемы принятия решений

Тогда задачу исследования операций можно математически сфор­мулировать так:

При заданных условиях а1, а2, ... найти такие элементы решения х1, х2, ...,которые обращают показатель W в максимум.

Перед нами — типично математическая задача, относящаяся к классу так называемых вариационных задач. Методы решения таких задач подробно разработаны в математике. Простейшие из этих методов («задачи на максимум и минимум») хорошо известны каждому инженеру. Для нахождения максимума или минимума (коро­че, экстремума) функции нужно продифференцировать ее по аргу­менту (или аргументам, если их несколько), приравнять производные нулю и решить полученную систему уравнений.

Однако, этот простой метод в задачах исследования операций имеет ограниченное применение. Причин этому несколько.

1. Когда аргументовх1, х2, ... много (а это типично для задач ис­следования операций), совместное решение системы уравнений, полу­ченных дифференцированием основной зависимости, зачастую оказы­вается не проще, а сложнее, чем непосредственный поиск экстремума.

2. В случае, когда на элементы решения х1, х2, ... наложены огра­ничения (т. е., область их изменения ограничена), часто экстремум на­блюдается не в точке, где производные обращаются в нуль, а на границе области возможных решений. Возникает специфическая для исследования операций математическая задача «поиска экстре­мума при наличии ограничений», не укладывающаяся в схему класси­ческих вариационных методов.

3. Наконец, производных, о которых идет речь, может вовсе не существовать, например, если аргументы х1 , х2, ... изменяются не не­прерывно, а дискретно, или же сама функция W имеет особенности.

Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений не существует. Однако для случаев, когда функция и ограничения обладают опреде­ленными свойствами, современная математика предлагает ряд Спе­циальных методов. Например, если показатель эффективности W зави­сит от элементов решениях1, х2, ... линейной ограничения, на­ложенные на х1 , х2, ..., также имеют вид линейных равенств (или неравенств), максимум функции W находится с помощью специального аппарата, так называемого линейного программирова­ния. Если эти функции обладают другими свойствами (на­пример, выпуклы или квадратичны), применяется аппарат «выпуклого» или «квадратичного» программирования, более сложный по сравне­нию с линейным программированием, но все же позволяющий в прием­лемые сроки найти решение. Если операция естественным образом расчленяется на ряд «шагов» или «этапов» (например, хозяйственных лет), а показатель эффективностиW выражается в виде суммы показа­телейWi, достигнутых за отдельные этапы, для нахождения решения, обеспечивающего максимальную эффективность, может быть применен метод динамического программирования.

Если операция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а управление, меняющееся со временем, представляет собой некоторую функциюx(f), то для нахождения оптимального уп­равления может оказаться полезным специально разработанный метод Л. С. Понтрягина.

Таким образом, в рассматриваемом детерминированном случае задача отыскания оптимального решения сводится к математической задаче отыскания экстремума функции W; эта задача может быть весь­ма сложной (особенно при многих аргументах), но, в конце концов, является вычислительной задачей, которую, особенно при наличии быстродействующих ЭЦВМ, удается, так или иначе, решить до конца. Трудности, возникающие при этом, являются расчетными, а не прин­ципиальными.

4. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В предыдущем параграфе мы рассмотрели самый простой, пол­ностью детерминированный случай, когда все условия операции а1, а2 , ... известны, и любой выбор решения х1, х2 ,... приводит к впол­не определенному значению показателя эффективности W.

К сожалению, этот простейший случай не так уж часто встре­чается на практике. Гораздо более типичен случай, когда не все условия, в которых будет проводиться операция, известны зара­нее, а некоторые из них содержат элемент неопределенности. Напри­мер, успех операции может зависеть от метеорологических условий, которые заранее неизвестны, или от колебаний спроса и предложения, заранее трудно предвидимых, связанных с капризами моды, или же от поведения разумного противника, действия которого заранее неиз­вестны.

В подобных случаях эффективность операции зависит уже не от двух, а от трех категорий факторов:

— условия выполнения операции а1, а2, ..., которые известны за­ранее и изменены быть не могут;

— неизвестные условия или факторыY1, Y2, ... ;

— элементы решения х1, х2, ..., которые нам предстоит выбрать. Пусть эффективность операции характеризуется некоторым пока­зателем W, зависящим от всех трех групп факторов. Это мы запишем в виде общей формулы:

W=W(a1, а2,...; Y1, Y2,...; х1, х2,...).

Если бы условияY1, У2, ... были известны, мы могли бы заранее подсчитать показатель W и выбрать такое решение х1, х2, ..., при кото­ром он максимизируется. Беда в том, что параметрыY1,Y2, ... нам не­известны, а значит, неизвестен и зависящий от них показатель эффек­тивности W при любом решении. Тем не менее задача выбора решения по-прежнему стоит перед нами. Ее можно сформулировать так:

При заданных условиях а1, а2 ,…, с учетом неизвестных факторов Y1, y 2, ... найти такие элементы решения х1, х2, ..., которые по воз­можности обращали бы в максимум показатель эффективности W.

Это — уже другая, не чисто математическая задача (недаром в ее формулировке сделана оговорка «по возможности»). Наличие неизвест­ных факторов Y1,Y2, ... переводит нашу задачу в другую категорию' она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределен­ности.

Давайте будем честны: неопределенность есть неопределенность. Если условия выполнения операции неизвестны, мы не имеем возмож­ности, так же успешно организовать ее, как мы это сделали бы, если бы располагали большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого во вполне определенной ситуации. Наше дело — сообщить своему решению в наи­большей возможной мере черты разумности. Решение, принятое в ус­ловиях неопределенности, но на основе математических расчетов, бу­дет все же лучше решения, выбранного наобум. Недаром один из вид­ных зарубежных специалистов — Т. Л. Саати в книге «Математичес­кие методы исследования операций» дает своему предмету следую­щее ироническое определение:

«Исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».

Задачи о выборе решения в условиях неопределенности встречают­ся нам в жизни на каждом шагу. Пусть, например, мы собрались ехать в отпуск, взяв с собой чемодан ограниченного объема, причем вес че­модана не должен превышать того, при котором мы можем носить его без посторонней помощи (условия а1, а2, ...). Погода в районах путе­шествия заранее неизвестна (условияY1, Y2, ...). Спрашивается, ка­кие предметы одежды (х1, х2, ...) следует взять с собой?

Эту задачу мы, разумеется, решаем без всякого математического аппарата, хотя, по-видимому, не без опоры на какие-то численные дан­ные (хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в районах путешествия в данное время года). Однако, если нужно принять более серьезное и ответственное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков, или о выборе типа посадочного устройства для посадки на планету с неизвестными свойствами поверхности, или о выборе образца вооружения для борьбы с противником, характеристики которого заранее неизвестны), то выбору решения в обязательном порядке должны быть предпосланы математические расчеты, облегчающие этот выбор и сообщающие ему, в доступной мере, черты разумности.

Применяемые при этом методы существенно зависят от того, ка­кова природа неизвестных факторовY1, Y 2,… и какими ориентиро­вочными сведениями о них мы располагаем.

Наиболее простым и благоприятным для расчетов является слу­чай, когда неизвестные факторы Y1, Y 2,… представляют собой слу­чайные величины (или же случайные функции), о которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение.

Пусть, например, мы рассматриваем работу железнодорожной сортировочной станции, стремясь оптимизировать процесс обслужива­ния прибывающих на эту станцию грузовых поездов. Заранее неизвест­ны ни точные моменты прибытия поездов, ни количество вагонов в каж­дом поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Все эти ха­рактеристики представляют собой случайные величины, закон распределения каждой из которых (и их совокупности) может быть определен по имеющимся данным обычными методами математи­ческой статистики.

Аналогично, в каждой военной операции присутствуют случай­ные факторы, связанные с рассеиванием снарядов, со случайностью моментов обнаружения целей и т. п. В принципе все эти факторы могут быть изучены методами теории вероятностей, и для них могут быть по­лучены законы распределения (или, по крайней мере, числовые харак­теристики).

В случае, когда неизвестные факторы, фигурирующие в опера­ции — Y1, Y 2,…. — являются обычными случайными величинами (или случайными функциями), распределение которых, хотя бы ориен­тировочно, известно, для оптимизации решения может быть применен один из двух приемов:

— искусственное сведение к детерминированной схеме;