Реферат: Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:

Таким образом, введенная нами форма скалярной проекции соответствует четвертому свойству скалярного произведения:

4. Гиперкомплексное произведение как ортогональное преобразование.

В стандартном курсе векторной алгебры после введения понятия скалярного произведения вводится понятие ортогонального преобразования. Будем следовать классике. Преобразование называется ортогональным, если скалярное произведение двух векторов равно скалярному произведению их образов после преобразования. Обозначив преобразование вектора как F(x), получим:

(F(x),F(y)) = (x,y)

Ортогональным это преобразование называется из-за того, что если (x,y)=0, то и

(F(x),F(y)) = 0

То есть если два вектора были ортогональны, то будут ортогональны и их образы после такого преобразования.

Ясно, что ортогональное преобразование сохраняет и длину любого вектора:

|F(x)| = |x|

В алгебрах гиперкомплексных чисел одним из видов преобразования является произведение гиперкомплексного числа x на другое гиперкомплексное число a. Покажем, что в случае |a| = 1 такое произведение задает ортогональное преобразование, или что

и что при преобразовании

Для этого докажем равенство:

Re(abc) = Re(cab):

Поэтому выражение скалярной проекции равно:

Поскольку , то получим:

Таким образом, при задании преобразования числа x как умножения слева на число |a|=1 мы получаем ортогональное преобразование, сохраняющее модуль числа x и скалярную проекцию векторов ax и ay.

То же самое можно доказать и для умножения справа на число a, где |a|=1.

5. Выводы.

Нам удалось найти для гиперкомплексных алгебр аналог скалярного произведения, введенного в векторной алшебре. Его удалось дать в достаточно общей форме, распространимой на ассоциативные гиперкомплексные алгебры Кэли - Диксона. Полученная форма полностью соответствует четырем основным свойствам скалярного произведения. Проанализировав, в каком именно месте рассуждений мы отошли от классического варианта, несложно обнаружить, что мы нигде не потребовали и не использовали равенства: