Реферат: Случайные величины

Для доказательства представим функцию в виде:

. (31.5)

Отсюда

. (31.6)

Теперь на основании аксиомы счетной аддитивности вероятности выражение в фигурных скобках равно , таким образом

, что и доказывает непрерывность справа функции .

Таким образом, каждая функция распределения вероятностей обладает свойствами 1-5. Верно и обратное утверждение: если , , удовлетворяет условиям 1-5 ,то она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

Для полного вероятностного описания дискретной случайной величины , принимающей значения , достаточно задать вероятности

, (32.1)

того, что случайная величина принимает значение . Если заданы и , , тогда функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины можно представить в виде:

. (32.2)

Здесь суммирование ведется по всем индексам , удовлетворяющим условию: .

Функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины иногда представляют через так называемую функцию единичного скачка

(32.3)

При этом принимает вид

, (32.4)

если случайная величина принимает конечное множество значений , и верхний предел суммирования в (32.4) полагается равным , если случайная величина принимает счетное множество значений.

Пример построения графика функций распределения вероятностей дискретной случайной величины был рассмотрен в п.30.

Плотность распределения вероятностей

Пусть случайная величина имеет дифференцируемую функцию распределению вероятностей , тогда функция

(33.1)

называется плотностью распределения вероятностей ( или плотностью вероятности) случайной величины , а случайная величина - непрерывной случайной величиной.

Рассмотрим основные свойства плотности вероятности.

Из определения производной следует равенство:

. (33.2)

Согласно свойствам функции имеет место равенство . Поэтому (33.2) принимает вид:

. (33.3)

Это соотношение объясняет название функции . Действительно, согласно (33.3) функция - это вероятность , приходящаяся на единицу интервала , в точке , поскольку . Таким образом, плотность вероятности, определяемая соотношением (33.3), аналогична определениям плотностей других величин, известных в физике, таких как плотность тока, плотность вещества, плотность заряда и т.д.

2. Поскольку - неубывающая функция, то ее производная - функция неотрицательная: