Реферат: Спектральный анализ колебаний

Решение.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формуле ряда Фурье в комплексной форме находим

.

Комплексная амплитуда пропорциональна функции вида , график которой показан на рисунке 2.

Рис. 2. График функции

Амплитуды гармоник определяются как модуль :

и пропорциональны функции вида , график которой показан на рисунке 4.

Рис. 4. График функции

График спектра амплитуд при показан на рисунке 5.

Рис. 5. График спектра амплитуд

Пунктирная линия, построенная по формуле , называется огибающей спектра амплитуд, в которую вписываются амплитуды гармоник на своих частотах . Нули огибающей будут на тех частотах, на которых

(n = 1, 2, 3, …),

откуда . Постоянная составляющая определяется как .

В пределах первого лепестка огибающей спектра амплитуд () комплексная амплитуда положительна и вещественна, значит (). В области частот величина вещественна и отрицательна, значит (). Следовательно, начальные фазы гармоник изменяются на 180° при переходе через нули огибающей. График спектра фаз показан на рисунке 6.

Рис. 6. График спектра фаз

Изменение периода следования импульсов Т приводит к сгущению (при увеличении) или разряжению (при уменьшении) спектральных линий.

Изменение длительности импульсов вызывает смещение нулей огибающей на оси частот, положение же спектральных линий при этом остается без изменения. В том случае, когда скважность последовательности импульсов , последовательность обладает богатым спектром, содержащим очень большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник, и широко используется в синтезаторах частот.

Спектр амплитуд позволяет наглядно судить о соотношении между амплитудами гармоник и о полосе частот, в пределах которой расположены энергетически значительные частотные составляющие.

Для периодического колебания средняя мощность Р _ср может быть представлена формулой

.

Кроме того, доказано, что средняя мощность периодического колебания равна сумме средних мощностей составляющих гармоник:

.

Это равенство называют равенством Парсеваля. Сопоставляя квадраты амплитуд гармоник, можно судить о распределении общей мощности периодического колебания по диапазону частот, а, следовательно, строить радиотехнические устройства, ограничивая спектр передаваемого колебания требуемым числом спектральных составляющих, тем самым уменьшая частотный диапазон передаваемых сигналов. Обычно спектр ограничивают частотой, на которой сумма мощностей постоянной составляющей и вошедших в этот диапазон гармоник составляет не менее 90 % полной средней мощности колебания.