Реферат: Спектральный анализ колебаний

В основу анализа линейных электрических цепей, находящихся под воздействием периодических негармонических колебаний, лежит принцип наложения. Его суть применительно к негармоническим воздействиям сводится к разложению негармонического периодического колебания в одну из форм ряда Фурье и определения реакции цепи от каждой гармоники в отдельности. Результирующая реакция находится как сумма полученных частных реакций.

Анализ проведем на примере. Пусть ко входу последовательной RC -цепи (рис. 7) подведено воздействие в виде периодической последовательности видеоимпульсов с амплитудой А = Е и скважностью .

Рис. 7

Требуется определить реакцию – напряжение на элементе емкости .

На вход цепи поступает периодическое колебание, разложение которого в ряд Фурье дает следующий результат:

Из ряда видно, что в составе разложения отсутствуют гармоники с четными номерами, так как скважность последовательности импульсов равна 2. Ограничимся первыми тремя членами разложения. Приложенное напряжение содержит постоянную составляющую , первую и третью гармоники с нулевыми начальными фазами. Найдем напряжение на емкости от постоянной составляющей приложенного напряжения:

.

Комплексное действующее напряжение от первой гармоники будет равно:

Аналогично находим напряжение на емкости от 3-й гармоники

.

Теперь можно записать мгновенное значение напряжения на емкости в виде ряда:

.

Действующее значение напряжения определяем, как

.

Частотный состав непериодического колебания

От периодического колебания к непериодическому можно просто перейти, если не изменяя формы импульса безгранично увеличивать период его следования, что, в свою очередь, приведет к бесконечно близкому расположению друг к другу спектральных составляющих, а значения их амплитуд становятся бесконечно малыми. Однако начальные фазы этих составляющих таковы, что сумма бесконечно большого числа гармонических колебаний бесконечно малых амплитуд отличается от нуля и равна функции только там, где существует импульс. Поэтому понятие спектра амплитуд для непериодического колебания не имеет смысла, и его заменяют, используя прямое и обратное преобразования Фурье.

Известно, что функция, удовлетворяющая заданным условиям, может быть представлена интегралом Фурье (обратное преобразование Фурье)

.

Используя прямое преобразование Фурье, приходим к интегралу

.

Функция называется комплексной спектральной плотностью амплитуд , а ее модуль – спектральной плотностью амплитуд . Аргумент называют фазовым спектром непериодического колебания.

В качестве примера рассмотрим колебание, описываемое экспоненциальной функцией при положительном вещественном значении параметра a.

Найдем спектральную плотность:

Особенностью комплексного спектра является его распространение, как на положительную, так и на отрицательную области частот. Графики нормированного амплитудного и фазового спектров представлены на рисунке 8.

а б