Реферат: Спектри і спектральний аналіз

Відповідно формули ряду Фур'є маємо:

(1)

Тут – основна частота. Як бачимо, складна періодична функція цілком визначається сукупністю величин і . Сукупність величин зветься спектром амплітуд. Сукупність величин називається відповідно спектром фаз. Для багатьох застосувань досить знати спектр амплітуд; він застосовується настільки часто, що коли говорять про спектр, то мається на увазі саме амплітудний спектр. В інших випадках роблять відповідні застереження. Ми робитимемо так само.

Спектр періодичної функції можна зобразити графічно. Виберемо для цього координати і .

Спектр буде зображений у цій системі координат сукупністю дискретних точок, оскільки кожному значенню відповідає одне визначене . Графік, що складається з окремих точок, незручний. Тому прийнято зображати амплітуди окремих гармонік вертикальними відрізками відповідної довжини.

У результаті спектр періодичної функції приймає вигляд, показаний на рис. 1. Це – дискретний спектр; його називають також лінійчастим, запозичивши цей термін з оптики.

Друга властивість спектра, зображеного на рис.1, полягає в тому, що спектр – гармонійний. Це означає, що він складається з рівновіддалених спектральних ліній; частоти гармонік знаходяться в простих кратних співвідношеннях. Зазвичай окремі гармоніки, іноді навіть перша, можуть бути відсутніми, тобто амплітуди їх можуть дорівнювати нулю; це, однак, не порушує гармонійності спектра.

Не слід вважати, що тільки періодична функція має дискретний спектр. Припустимо, наприклад, що складне коливання є результатом додавання двох синусоїдальних коливань з непорівнянними частотами, скажімо, та . Це коливання свідомо неперіодичне, однак спектр його дискретний і складається з двох спектральних ліній.

Функція, що володіє дискретним спектром з довільно розташованими за частотою спектральними лініями, називається майже періодичною.

Отже, дискретні чи лінійчасті спектри можуть належати як до періодичних, так і до неперіодичних функцій. У першому випадку лінійчастий спектр обов'язково гармонійний.

Велике практичне значення має окремий випадок майже періодичної функції, що подається розкладанням виду

,

де приймає як позитивні, так і негативні значення. Спектр, що відповідає цьому розкладанню, характеризується тим, що лінії його еквідистантні; тому ми називатимемо такого роду лінійчастий спектр квазігармонійним. Такі, наприклад, спектри періодичних модульованих коливань; у цьому випадку є не що інше, як несуча частота.

Звернемося тепер до спектрів неперіодичних функцій. Ми вже знаємо, що в результаті граничного переходу від ряду до інтеграла Фур'є інтервали між окремими лініями необмежено скорочуються, лінії зливаються, і замість дискретних точок спектр має зображуватися безперервною послідовністю точок, тобто безперервною кривою. Такого роду спектр називається суцільним. На рис. 2 наведений приклад спектрального розкладання ЕЕГ.

Проте тут потрібно ввести одне уточнення. Ми писали формулу для інтеграла Фур'є у вигляді

(2)

Підінтегральна функція виражає окремий нескінченно малий доданок, тобто коливання з нескінченно малою амплітудою :

,

.

Таким чином, величина виражає не безпосередньо амплітуду, а так звану спектральну щільність. Однак зазвичай цю деталь опускають і називають комплексним спектром неперіодичної функції, а абсолютне значення (модуль) цієї величини – просто спектром. Це може призвести до непорозумінь лише в тому випадку, коли ми безпосередньо порівнюватимемо співвідношення для періодичних і неперіодичних функцій.

Отже, ми маємо два різновиди спектрів: лінійчасті і суцільні. Гармонійні лінійчасті спектри належать періодичним функціям, суцільні – неперіодичним.

Насамкінець зазначимо, що тими чи іншими функціями можуть виражатися зміни різних фізичних величин. Наприклад, спектри механічних величин: зсуву, швидкості, прискорення, сили, тиску тощо; електричних величин: струму, напруги і т.д. Крім того, нас часто цікавлять спектри квадратичних величин: потужності й енергії.

2. Деякі теореми про спектри

Виведемо тепер декілька загальних теорем про спектри, заснованих на властивостях перетворення Фур'є. Ці теореми подібні до теорем операційного числення і виводяться аналогічно: адже перетворення Фур'є і перетворення Лапласа, що складають основу операційного числення, споріднені між собою.

Насамперед відзначимо, що перетворення Фур'є лінійне. З цього безпосередньо випливає, що до нього можна застосувати принцип накладання. Цю обставину можна виразити таким співвідношенням:

.(3)

Зміст співвідношення (3) може бути коротко виражений так: спектр суми дорівнює сумі спектрів.

Повернемося тепер до розгляду ЕЕГ. Симетричність (збіг ЕЕГ, знятих з відведень, розташованих у протилежних точках скальпа) характерна для нормальної ЕЕГ, вона є одним з істотних критеріїв діагностики. Разом з тим, ЕЕГ є випадковим процесом, тому, говорячи про збіг, розумітимемо збіг у середньому, тобто збіг характеристик процесів. Як таку характеристику виберемо спектр потужності ЕЕГ, потім знайдемо суму і різницю ЕЕГ симетричних відведень, потім визначимо спектр сумарного процесу і спектр різниці процесів. Виходячи з лінійності перетворення Фур'є, прояв симетричності буде в тому, що спектр сумарного процесу має значно перевершувати спектр різниці процесів. За відсутності симетричності спектри сумарного і спектр різниці процесів практично перекриватимуться. Зазначені припущення виявляються практично, що ілюструється рис. 3 і рис. 4.

Виведемо тепер вираз для комплексного спектра функції, що відрізняється від вихідної запізнюванням на час . Ми можемо записати

.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--