Реферат: Статистическая механика классических систем

(8.6)

Здесь - число внутренних, не подверженных классическому переходу степеней свободы i -ой частицы. Так, если частица имеет спин, каждое ее состояние характеризуется ориентацией спина, например, по отношению к импульсу . Число таких ориентаций оказывается равным:

(8.7)

Здесь - максимально возможная величина проекции собственного момента частицы на некоторую ось. Так, для электрона () величина оказывается равной 2 и т.д. Исключение составляют фотоны, для которых , хотя их спин .

Подставляя (8.7) в (8.6) получаем выражение для числа квантовых состояний в элементе фазового пространства.

Тогда статистическая сумма по микроскопическим состояниям n в квазиклассическом пределе можно записать в виде интеграла по фазовому пространству (p , q ):

(8.8)

Здесь - гамильтониан системы, а величина с учетом тождественности частиц имеет вид:

(8.9)

Сомножитель также введен в силу принципа тождественности. Дело в том, что перестановка любых двух частиц в классическом случае характеризует различные состояния. В то же время, перестановка двух частиц с точки зрения квантовой теории характеризует одно и тоже состояние. Это связано с принципиальной неразличимостью (тождественностью) одинаковых частиц. По этой причине в (8.8) и вводится множитель, обратный числу перестановок.

Каноническое распределение в классическом процессе записывается как вероятность обнаружить микроскопическое состояние классической системы, расположенное в бесконечно малом 6N -мерном объеме около точки (p , q ):

Свободная энергия F , как и ранее, определяется из соотношения:

Далее рассмотрим как изменяется большое каноническое распределение. Вначале рассмотрим переход к классическому случаю выражение большой канонической суммы . Здесь сохраняется суммирование по числу частиц:

, (8.11)

Тогда вероятность обнаружить термодинамическую систему, выделенную воображаемыми стенками, состоящую из N частиц, и находящихся в объеме 6N -мерного фазового пространства будет равна:

(8.12)

Распределение (8.12) представляет собой классический аналог большого канонического распределения Гиббса. Как и для свободной энергии, переход к классическому случаю сохраняет вид термодинамического потенциала :

.

Кроме того, для распределения (8.12) вводится условие нормировки, предусматривающее суммирование по числу частиц:

(8.13)

Смысл условия (8.13) заключается в том, что вероятность при заданных параметрах () найти термодинамическую систему, число частиц в которой может принимать значения от 0 до , где-то в фазовом пространстве, равной единице.

Для перехода к классическому варианту микроканонического распределения необходимо ввести явный вид функции . Будем предполагать, что она имеет вид:

Одним из способов такого задания функции является:

(8.14)

Здесь - дельта-функция Дирака. Тогда классический вариант микроканонического распределения Гиббса имеет вид:

(8.150