Реферат: Статистическая механика классических систем

Тогда:

,

Отсюда

, (8.26)

В некоторых работах соотношение (8.26) обосновывается с помощью дополнительных соображений и позволяет интерпретировать температуру как меру средней кинетической энергии . Однако соотношение (8.26), во-первых, получено только для классических систем. Во-вторых, интерпретация температуры как мера средней кинетической энергии частиц требует привлечения других механизмов ( не связанных с понятием температуры) для определения этой энергии.

Поэтому соотношение (8.26) следует рассматривать как интегральный, но все-таки частный результат.

Далее рассмотрим идеальный газ, находящийся во внешнем потенциальном поле. Гамильтониан такой системы оказывается равным:

(8.27)

Подставляя (8.27) в (8.10) с точностью до постоянного сомножителя имеем:

(8.28)

Таким образом, гиббсовское распределение по координатам и импульсам распадается на 2N независимых распределений по координатам и импульсам каждой частицы. Распределения по импульсам представляет собой полученное выше распределение Максвелла (8.). Рассмотрим более подробно распределение по координатам:

(8.29)

Это распределение характеризует распределение частиц в поле произвольного потенциала .

В частности, в поле сил тяжести получаем известное барометрическое распределение:

(8.30)

Аналогичным образом выбирая в качестве потенциал стенок, ограничивающих объем V ,

(8.31)

получаем распределение

(8.31)

Использование потенциала (8.31) и соответствующего распределения для классических систем аналогично ограничению области интегрирования по координатной составляющей фазового пространства N -кратно повторенной областью V .

Объединяя в соответствии с (8.28) распределение по координатам (8.29) и импульсам (8.23), получаем распределение по координатам и импульсам для каждой частицы:

(8.33)

или распределение по координатам и скоростям:

(8.34)

Распределение (8.34) часто называют распределением Максвелла – Больцмана.

3. Рассмотрим общую структуру статистического интеграла. В случае отсутствия взаимодействия между частицами () статистический интеграл распадается на произведение одинаковых интегралов по переменным и для каждой частицы.

Для выделения главной асимптотики по N воспользуемся формулой Стирлинга:

т.е. ,