Реферат: Статистическое исследование взаимосвязи социально-экономических показателей

Решение всех названных задач приводит к необходимости комплексного использования этих методов.

Корреляционный и регрессионный анализ. Исследование связей в условиях массового наблюдения и действия случайных факторов осуществляется, как правило, с помощью экономико-статистических моделей. В широком смысле модель – это аналог, условный образ (изображение, описание, схема, чертёж и т.п.) какого-либо объекта, процесса или события, приближенно воссоздающий «оригинал». Модель представляет собой логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса, даёт возможность установить основные закономерности изменения оригинала. В модели оперируют показателями, исчисленными для качественно однородных массовых явлений (совокупностей). Выражение и модели в виде функциональных уравнений используют для расчёта средних значений моделируемого показателя по набору заданных величин и для выявления степени влияния на него отдельных факторов.

По количеству включаемых факторов модели могут быть однофакторными и многофакторными (два и более факторов).

В зависимости от познавательной цели статистические модели подразделяются на структурные, динамические и модели связи.

Двухмерная линейная модель корреляционного и регрессионного анализа (однофакторный линейный корреляционный и регрессионный анализ). Наиболее разработанной в теории статистики является методология так называемой парной корреляции , рассматривающая влияние вариации факторного анализа х на результативный признак у и представляющая собой однофакторный корреляционный и регрессионный анализ. Овладение теорией и практикой построения и анализа двухмерной модели корреляционного и регрессионного анализа представляет собой исходную основу для изучения многофакторных стохастических связей.

Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравнения регрессии) является установление в анализе исходной информации математической функции. Сложность заключается в том, что из множества функций необходимо найти такую, которая лучше других выражает реально существующие связи между анализируемыми признаками. Выбор типов функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опят предыдущих аналогичных исследований, или осуществляться эмпирически – перебором и оценкой функций разных типов и т.п.

При изучении связи экономических показателей производства (деятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчётов преобразуют (путём логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

= a₀ + a₁ x , (1.1.3)

где - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

a₀ , a₁ - коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Поскольку a₀ является средним значением у в точке х=0 , экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна.

Коэффициент парной линейной регрессии a₁ имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у . Вышеприведенное уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на одну единицу его измерения, то есть вариацию у , приходящуюся на единицу вариации х . Знак a₁ указывает направление этого изменения.

Параметры уравнения a₀ , a₁ находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных y_i от выравненных :

S(y_i – )² = S(y_i – a₀ – a₁ x_i )² ® min (1.1.4)

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений :

(1.1.5)

????? ??? ??????? ? ????? ????:
(1.1.6)

Параметры уравнения парной линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же результат:

(1.1.7)

Определив значения a₀ , a₁ и подставив их в уравнение связи =a₀ +a₁ x , находим значения , зависящие только от заданного значения х .

1.4. Парная корреляция и регрессия

Часто при анализе взаимосвязей социально-экономических явлений среди различных факторов, влияющих на результат, бывает важно выделить наиболее значимый факторный признак, который в большей степени обусловливает вариацию результативного признака (например, зависимость проданных туристическими фирмами путевок от затрат на рекламу или зависимость производительности труда операторов ЭВМ от стажа работы). Этим обусловлена необходимость измерения парных корреляций и построения уравнений парных регрессий.

Парная корреляция характеризует тесноту и направленность связи между результативным и факторным признаками. Парная регрессия позволяет описать форму связи в виде уравнения парной регрессии (табл.2).

Таблица 1

Основные виды уравнений парной регрессии

В данной таблице – теоретическое значение результативного признака (y) при определенном значении факторного признака (x), подставленном в регрессионное уравнение; а₀ – свободный член уравнения; a₁ , a₂ – коэффициенты регрессии.

Параметры уравнений парной регрессии a₁ , a₂ называют коэффициентами регрессии. Для оценки параметров уравнения парной регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК). Он заключается в определении параметров а₀ , a₁ , a₂ , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результата (y_i ) от теоретических ( ) минимизируется. Так, (1.1.8) описывает исходное условие МНК для парной линейной корреляционной связи:

или (1.1.8)

На основе (1.1.8) определяются частные производные функции f(а₀ , a₁ ), которые затем приравниваются к 0. Далее полученные уравнения преобразуются в систему нормальных уравнений, из которых определяются параметры а₀ , a₁ . При этом число нормальных уравнений в общем случае будет равно числу параметров. При использовании СПП параметры регрессионного уравнения определяются автоматически.

В частности, коэффициент парной линейной регрессии a₁ определяется в соответствии с (1.1.9) и характеризует меру связи между вариациями факторного и результативного признаков. Коэффициент регрессии показывает, на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при изменении факторного на единицу:

(1.1.9)

где n – объем совокупности.

Тесноту и направление парной линейной корреляционной связи измеряют с помощью линейного коэффициента корреляции (1.1.10), принимающего значения в пределах от –1 до +1 (см. табл.2):