Реферат: Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики

Подобный подход позволяет определить некое количество неулучшаемых решений для случая вогнутой границы, что, по существу, является недоступным в методе взвешенных сумм, например, в точке искомого решения и . Однако проблемой данного метода является подходящий выбор , который мог бы гарантировать допустимость некого решения.

Метод достижения цели.

Описанный далее метод представляет собой метод достижения цели Гембики. Данный метод включает в себя выражение для множества намерений разработчика , которое связано с множеством целей . Такая формулировка задачи допускает, что цели могут быть или недо- или передостижимыми, и что дает разработчику возможность относительно точно выразить исходные намерения. Относительная степень недо- или передостижимости поставленных намерений контролируется посредством вектора взвешенных коэффициентов и может быть представлена как стандартная задача оптимизации с помощью следующей формулировки

(3-53)

При условии, что

Член вносит в данную задачу элемент ослабления , что, иначе говоря, обозначает жесткость заданного намерения. Весовой вектор w дает исследователю возможность достаточно точно выразить меру взаимосвязи между двумя целями. Например, установка весового вектора w как равного исходному намерению указывает на то, что достигнут тот же самый процент недо- или передостижимости цели . Посредством установки в ноль отдельного весового коэффициента (т.е. ) можно внести жесткие ограничения в поставленную задачу. Метод достижения цели обеспечивает подходящую интуитивную интерпретацию поставленной исследовательской задачи и которая, в свою очередь, является вполне разрешимой с помощью стандартных процедур оптимизации.

Гладкая оптимизация. Седловая точка. Условие Куна-Таккера. Двойственные задачи оптимизации.

Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум или минимум функции при ограничениях-равенствах. Основная идея метода состоит в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремума некоторой построенной функции Лагранжа. Пусть задана задача НП при ограничениях-равенствах вида

минимизировать (5.2.1)

при ограничениях

(5.2.2)

Предположим, что все функции – дифференцируемы. Введем набор переменных (число которых равняется числу ограничений), которые называются множител ями Лагранжа , и составим функцию Лагранжа такого вида:

(5.2.3)

Справедливо такое утверждение [18]: для того чтобы вектор являлся решением задачи (5.2.1) при ограничениях (5.2.2), необходимо, чтобы существовал такой вектор , что пара векторов удовлетворяла бы системе уравнений

(5.2.4)

(5.2.5)

множителей Лагранжа, который состоит из следующих шагов.

Составляют функцию Лагранжа

Находят частные производные

Решают систему уравнений

(5.2.16)

и отыскивают точки , удовлетворяющие системе (5.2.16).

Найденные точки дальше исследуют на максимум (или минимум).

Седловая точка и задача нелинейного программирования

Рассмотрим функцию Лагранжа

Определение Пара векторов называется седловой точкой функции Лагранжа , если при всех выполняется условие

(5.3.28)

Неравенство (5.3.28) называют неравенством для седловой точки. Очевидно, что в седловой точке выполняется условие

(5.3.29)