Реферат: Теория игр

Отсюда следует, что при u ¹ 0 столбцы матрицы А не могут быть пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, отличным от единицы. Если же коэффициент пропорциональности равен единице, то матрица А принимает вид

и игрок 1 имеет чистую оптимальную стратегию (он выбирает с вероятностью 1 ту из строк, элементы которой не меньше соответствующих элементов другой), что противоречит предположению. Следовательно, если u ¹ 0 и игроки имеют только смешанные оптимальные стратегии, то определитель матрицы А отличен от нуля. Из этого следует, что последняя система уравнений имеет единственное решение. Решая её, находим

;

.

Аналогичные рассуждения приводят нас к тому, что оптимальная стратегия игрока 2 Y = (h , 1 - h ) удовлетворяет системе уравнений

откуда

.

Графический метод решения игр 2 х n И m х 2.

Поясним метод на примерах.

Пример 1 .

Рассмотрим игру, заданную платёжной матрицей.

На плоскости хОy введём систему координат и на оси Ох отложим отрезок единичной длины А₁ , А₂ , каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (х, 1 - х). В частности, точке А₁ (0;0) отвечает стратегия А₁ , точке А₂ (1;0) – стратегия А₂ и т.д.

y

11

7

М N 5

3

2 u 2

x

В точках А₁ и А₂ восстановим перпендикуляр и на полученных прямых будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью 0y ) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии А₁ , а на втором – при стратегии А₂ . Если игрок 1 применит стратегию А₁ , то выиграет при стратегии В₁ игрока 2 – 2, при стратегии В₂ – 3, а при стратегии В₃ – 11. Числам 2, 3, 11 на оси 0х соответствуют точки В₁ , В₂ и В₃ .

Если же игрок 1 применит стратегию А₂ , то его выигрыш при стратегии В₁ равен 7, при В₂ – 5, а при В₃ – 2. Эти числа определяют точки В¢₁ , В₂ ¢, В₃ ¢ на перпендикуляре, восстановленном в точке А₂ .Соединяя между собой точки В₁ и В¢₁ , В₂ и В¢₂ , В₃ и В¢₃ получим три прямые, расстояние до которых от оси 0х определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий. Например, расстояние от любой точки отрезка В₁ В¢₁ до оси 0х определяет средний выигрыш u₁ при любом сочетании стратегий А₁ А₂ (с частотами х и 1–х ) и стратегией В₁ игрока 2. Это расстояние равно

2х₁ + 6(1 -х₂ ) = u₁

(Вспомните планиметрию и рассмотрите трапецию А₁ B₁ B¢₁ A₂ ). Таким образом, ординаты точек, принадлежащих ломанной В₁ MN В¢₃ определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является максимальной в точке N; следовательно этой точке соответствует оптимальная стратегия Х* = (х , 1-х ), а её ордината равна цене игры u . Координаты точки N находим как точку пересечения прямых В₂ B¢₂ и В₃ B¢₃ .

Соответствующие два уравнения имеют вид

.

Следовательно Х = (; ), при цене игры u = . Таким образом мы можем найти оптимальную стратегию при помощи матрицы