Реферат: Теория сравнений

2.1. Прежде чем перейти к изучению нового материала, вспомним:

1. В каком случае два числа называются сравнимыми по данному модулю?
2. Как формулируются основные свойства сравнений?
3. Как формулируются признаки делимости целых чисел на 9 и на 11?

2.2. А теперь перейдем к изучению нового материала.

Ученик делает доклад по данной теме, отвечает на вопросы одноклассников .

Содержание доклада ученика :

Теория сравнений дает следующий способ проверки арифметических действий.

Выбираем некоторый модуль т и заменяем большие числа а,в,с,…, над которыми нам надо производить действия (сложение, умножение, вычитание, возведение в степень), небольшими числами а’ , в’ , с’ ,…, сравнимыми с ними по модулю т. Произведя действия над а, в, с,…, мы такие же действия производим над а’ , в’ , c’ ,…. Если действия произведены верно, то результаты этих действий должны быть сравнимы по модулю т.

Действительно, согласно свойствам сравнений,

если

a≡a’(mod m) , b≡b’(mod m),... ,

то

a+b+...≡a’+b’+...(mod m),

a•b•... ≡a’•b’•... (mod m),

aⁿ ≡bⁿ (mod m).

Применение этого способа имеет смысл только в том случае, когда нахождение таких чисел а’ ,b’ , c’ , … осуществляется легко и не требует большого времени. Для этого обычно в качестве модуля выбмрают m=9 и т=11, так как признаки делимости на эти числа наиболее просты в применении. . Сформулируем способы проверки арифметических действий “с помощью девятки” и “с помощью одиннадцати”.

По признаку делимости на 9: каждое число, записанное в десятичной системе счисления, сравнимо с суммой его цифр по модулю 9. Исходя из этого, способ формулируется следующим образом:

Способ проверки с помощью девятки.

Для каждого числа вычисляется остаток от деления на 9 суммы цифр. Производя действиянад числами, производят такие же действия над этими остатками. Результат рассматриваемых действий над этими остатками должен отличаться от суммы цифр искомого результата на число, кратное девяти.

По модулю 11 каждое число, записанное в десятичной системе счисления, будет сравнимо с суммой цифр, взятых справа налево попеременно со знаками “плюс” и “минус”(согласно признаку делимости на 11). Следовательно, следующий способ формулируется так:

Способ проверки с помощью одиннадцати.

Для каждого числа вычисляется остаток от деления на 11 суммы цифр, взятых попеременно справа налево со знаками “плюс” и “минус”. Результат рассматриваемых действий над этими остатками должен отличаться от суммы взятых попеременно со знаками “плюс” и “минус” цифр искомого результата на число, кратное 11.

2.2. Итак, вы прослушали новый материал, записали необходимые теоретические факты. Теперь наша с вами задача усвоить данный материал на 1,2 уу.

2.3.Сформулируйте способ проверки арифметических действий с помощью девятки.

2.4. Попробуйте составить алгоритм применения данного способа к решению задач.

Ответ : Чтобы проверить арифметические действия над целыми числами с помощью девятки, надо:

1. Для каждого данного числа найти сумму его цифр;
2. Для каждого из полученных результатов суммирования найти остатки от деления их на 9;
3. Произвести над остатками те же действия, что и над данными числами;
4. Сравнить полученные результаты;
5. Сделать вывод.

2.5. Применим данный алгоритм к следующей задаче:

Проверить с помощью модуля 9, верен ли результат умножения

73416 · 8539 = 626899224

Ответ : 1) находим суммы цифр первого и второго сомножителей, а также сумму цифр результата умножения.

7+3+4+1+6=21;