Реферат: Теория управления
Задано множество и вектор
. Для этих двух элементов можно определить опорную функцию следующим образом
, где C опорная функция.
,
,
.
,
.
Пусть -некоторый фиксированный вектор, а
один из векторов множества F, на котором опорная функция достигает максимум:
. В этом случае
наз. опорным вектором мн-ва F в точке
. А совокупность всех векторов
наз. опорным множеством к множеству F в направлении
.Гиперплоскость
- наз. опорной гиперплоскостью к множеству F в направлении
. Гиперплоскость
разбивает
на два подпространства, при этом множество F находится в отрезке получаемый относительно
, т.к. для всех точек
выполняется неравенство
. Если считать, что
- единичный вектор,
,
. опорных
7. Свойства опорной функции.
1. Опорные функция- положительно однородная по переменной .
. Это значит что
,
.
2. Для опорные функции удовлетворяют неравенству:
3. Два множества
и
,
,
Пусть матрица A размера n на n,
и рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.
.
4. ,где
-матр. сопряженная с матр.
.
5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. ,
. Пусть
и пользуемся : 1) условием однородности:
6. Пусть задано множество
и его опорная фун.
. Выпуклая оболочка мн-ва F
,
.
7. Если и A=B, то опорная фун.
. И наоборот, если
,то
. Следствие: Выпуклые мн-ва равны тогда и только тогда, когда равны их опорные функции.
8. Если и
. В этом случае
. Если
,то
. Следствие: Выпуклые мн-ва
тогда и только тогда, когда равны их опорные функции
.
9. Пусть задано множество , тогда
. В обратную сторону:
, когда
. Следствие: Точка
выпуклому мн-ву
, тогда и только тогда , когда
.
10. Пусть задано множество , а
, тогда
.
. Следствие: Пусть задано множество
,
, тогда и только тогда, когда
.
и если
, то
. И наоборот: Если
,то
.Следствие: Два вып. Мн-ва пересекаются тогда и только тогда, когда
.
8. Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица для опорных функций.
Пусть -два метрических пространства с метриками
и пусть f отображает
. f непрерывна в точке
, если
такое что
Условие Липшица: Функция f, отображающая
, удовлетворяет условию Липшица с const L , если для любых двух точек
, выполняется неравенство
,для опорных функций
,
,
:
Лемма: Опорная функция удовлетворяет условию Липшеца по f с const L=
.
Лемма: Пусть - выпуклы, тогда хаусдорффова норма
9. Многозначные отображения.
Многозначным отображением будем называть функцию у которой аргументом является число, а значением некоторые множества
10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения.
Многозначное отображение F(t) непрерывно в точке , если для
.
Лемма: Пусть непрерывное многозначное отображение , когда
непрерывна по t при всяком фиксированном
, более того
равномерно непрерывно по t
.
Если равномерно непрерывно по t
, то многозначное отображение conv F(t) непрерывно.