Реферат: Теория управления
Функция f(t) отображающая в некоторое метрическое пр-во
с метрикой
называется измеримой, если праобраз любого шара
есть мн-во измеримое.
12. Интеграл от многозначного отображения. Теорема о непрерывности от многозначного отображения.
F-многозначное отображение, такое что F: I, где
,
-замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.
Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G) вида:
. Это мн-во значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения
F(t) .
Теорема 3: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда
непрерывна на отр. I .
Опорная функция , где F
,
.
13. Теоремы 1, 2 о других видах многозначных отображений.
F-многозначное отображение, такое что F: I, где
,
-замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.
Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G) вида:
. Это мн-во значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения
F(t) .
Теорема 1: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда G является не пустым, компактным множеством в пространстве
,
и выпукло.
Теорема 2 : Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда опорная функция
.
14. Линейная задача быстродействия. Определение абс. непрерывной функции. Теорема Каратеодори.
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор,
, A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и
,
.Задано
, u: I
и полагается, что u(t) измеримо и
- где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)
U(t) - ограничения на управления . В фазовом пространстве
заданы два не пустых множества
. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва
в конечное множество
, если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4)
и
. Цель управления- перевод динамический объекта из
в
, а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в
за наименьшее время.
(4).
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений: ,
, где u известное . Решение задачи Коши записывается в виде:
, оно справедливо, если u- непрерывная.
Вычислим (это следует из
).
Определение: Функцию x(t) наз. абсолютно непрерывной на отр. I, если ее производная существует для почти всех t, принадлежащих I, интегрируемая по Лебегу производная и выполняется условие:
.
Если имеем измеримое допустимое управление u(t), то решение системы (1) также можно определить с помощью формулы Коши, но в этом случае x(t) не будет непрерывно дифференцируема, а будет абсолютно непрерывной.
Теорема Каратеородори: Если функция u(t) интегрируемая по Лебегу на отр. I, то для любого начального значения существует и при том единое абс. непрерывное решение задачи Коши, которая задается формулой Коши.
15. Множество достижимости и его свойства.
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор,
, A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и
,
.Задано
, u: I
и полагается, что u(t) измеримо и
- где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)
U(t)- ограничения на управления . В фазовом пространстве
заданы два не пустых множества
. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва
в конечное множество
, если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4)
и
. Цель управления- перевод динамический объекта из
в
, а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в
за наименьшее время.
(4).
Введем понятия мн-ва достижимости: -это множество все точек фазового пространства
, в котором можно перейти на отр.
из начального множества
по решениям (1) при всех допустимых значениях управления u(t) в момент времени
.
Рассмотрим свойства множества достижимости:
1) Используем формулу Коши:
,
-интеграл от многозначного отображения. Доказательство непосредственно подставлением в уравн (1).
2) Множество достижимости является не пустым, компактным подмножеством пр-ва .
.
Доказательство следует из формулы Коши и 1-ой теоремы для интеграла многозначных отображений.