Реферат: Теория управления

Задано множество и вектор . Для этих двух элементов можно определить опорную функцию следующим образом , где C опорная функция. ,

, .

, .

Пусть -некоторый фиксированный вектор, а один из векторов множества F, на котором опорная функция достигает максимум: . В этом случае наз. опорным вектором мн-ва F в точке . А совокупность всех векторов наз. опорным множеством к множеству F в направлении .Гиперплоскость - наз. опорной гиперплоскостью к множеству F в направлении . Гиперплоскость разбивает на два подпространства, при этом множество F находится в отрезке получаемый относительно , т.к. для всех точек выполняется неравенство . Если считать, что - единичный вектор, ,

. опорных

7. Свойства опорной функции.

1. Опорные функция- положительно однородная по переменной .

. Это значит что ,.

2. Для опорные функции удовлетворяют неравенству: 3. Два множества и , , Пусть матрица A размера n на n, и рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.

.

4. ,где -матр. сопряженная с матр. .

5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. , . Пусть и пользуемся : 1) условием однородности: 6. Пусть задано множество и его опорная фун. . Выпуклая оболочка мн-ва F

, .

7. Если и A=B, то опорная фун.. И наоборот, если ,то. Следствие: Выпуклые мн-ва равны тогда и только тогда, когда равны их опорные функции.

8. Если и . В этом случае . Если ,то. Следствие: Выпуклые мн-ва тогда и только тогда, когда равны их опорные функции .

9. Пусть задано множество , тогда . В обратную сторону: , когда . Следствие: Точка выпуклому мн-ву , тогда и только тогда , когда .

10. Пусть задано множество , а , тогда . . Следствие: Пусть задано множество , , тогда и только тогда, когда .

и если , то . И наоборот: Если ,то .Следствие: Два вып. Мн-ва пересекаются тогда и только тогда, когда .

8. Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица для опорных функций.

Пусть -два метрических пространства с метриками и пусть f отображает . f непрерывна в точке , если такое что Условие Липшица: Функция f, отображающая , удовлетворяет условию Липшица с const L , если для любых двух точек , выполняется неравенство ,для опорных функций , , :

Лемма: Опорная функция удовлетворяет условию Липшеца по f с const L=.

Лемма: Пусть - выпуклы, тогда хаусдорффова норма

9. Многозначные отображ­ения.

Многозначным отображением будем называть функцию у которой аргументом является число, а значением некоторые множества

10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения.

Многозначное отображение F(t) непрерывно в точке , если для .

Лемма: Пусть непрерывное многозначное отображение , когда непрерывна по t при всяком фиксированном , более того равномерно непрерывно по t .

Если равномерно непрерывно по t , то многозначное отображение conv F(t) непрерывно.