Реферат: Управление техническими системами лекции
a = a1 + j. a2
M = M1 + j. M2
(a и М - комплекные)
2. e- a 1t. [M1 . cos(a2 . t) - M2 . sin(a2 . t)]
Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:
единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = 
,
дельта-функция X(s) = 1,
линейное воздействие X(s) = 
.
Пример . Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.
Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) = 
.
Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):
s2 Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,
s2 Y + 5sY + 6Y = 2s + 12,
Y(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.
Определяется выражение для Y:
.
Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):
=
=
+
+
=
= 
.
Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
М1 + М2 + М3 = 0 M1 = 2
5. М1 + 3. М2 + 2. М3 = 2 - M2 = -4
6. М1 = 12 M3 = 2
Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:
=
-
+
.
Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:
y(t) = 2 - 4. e-2 t + 2. e-3 t . ¨
2.6. Передаточные функции.
2.6.1 Определение передаточной функции.
Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.
Например, операторное уравнение
3s2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)
можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:
Y(s)*(3s2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)
.
Полученное выражение называется передаточной функцией.
Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.
(2.4)
Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:
,
где B(s) = b0 + b1 s + b2 s2 + … + bm sm - полином числителя,
А(s) = a0 + a1 s + a2 s2 + … + an sn - полином знаменателя.