Реферат: Уравнение Шрёдингера для простейших стационарных движений

Есть две возможности составления линейных комбинаций.

Во-первых, можно составить действительные линейные комбинации в пределах одного уровня из орбиталей с одним и тем же квантовым числом |m|=0,1,2,... . Полученные действительные орбитали обозначим буквами греческого алфавита {s, p, d, ... }. Их полярные графики представлены на рис.

Во-вторых, можно смешать действительные орбитали разных уровней. Этот тип смешения называется гибридизацией. Обычно одна из них s-орбиталь (m=0). С ней можно смешать либо одну, либо две p-орбитали.

Каждая полученная гибридная функция обладает осью, вдоль которой ориентированы её пучности. Гибридные функции строятся так, чтобы их основные пучности были максимально удалены в пространстве друг от друга. Гибрид из двух функций содержит две sp-орбитали. Их графики представлены на рис.

Из s-орбитали с двумя p-орбитали можно построить три равноценные линейные комбинации. Получается sp² -гибрид. Его пучности ориентированы под углами 120^o .

Гибриды полезны для понимания механизмов образования химических связей.

6.3. Гамильтониан одномерного гармонического осциллятора:

В простейших случаях возвращающая сила (сила упругости) линейно зависит от смещения (закон Гука F=-kx), направлена против направления смещения, вызывая гармонические колебания массы относительно точки равновесия. Потенциальная энергия квадратично зависит от расстояния. Эта модель очень широко используется в квантовой механике.

Существует шутка, что блюда французской кухни приготовлены из минимума продуктов, но с огромным разнообразием соусов и приправ.

Параллельная шутка утверждает, что квантовая механика подобна французской кухне, но основным блюдом является гармонический осциллятор (или «вибратор» по В.А. Фоку)... Это преувеличение не слишком велико. Действительно, во времени движения в стационарных системах строго периодические, и их, как известно, всегда удаётся свести к набору простых гармонических движений.

Гамильтониан линейного гармонического колебания записывают в виде

.(6.7)

Квантование уровней колебательной энергии передаётся формулой:

.(6.8)

Волновые функции гармонического осциллятора графически напоминают волновые функции одномерного ящика, однако это лишь качественное сходство, а сами их характеристики устроены несколько иначе.

Основа их - гауссова функция Y₀ =A₀ ×exp(-ax² ). У неё нет узлов, и это вид волновой функции низшего, нулевого уровня.

У следующего, первого уровня должен быть один узел. Он возникает, если ввести функцию-сомножитель P₁ =x. При перемножении Y₀ и P₁ получается Y₁ =P₁ ×Y₀ =A₁ ×x×exp(-ax² ).

У последующего, второго уровня должно быть два узла. Их можно получить, если полином-сомножитель это квадратичная парабола P₂ = (ax² +bx+c). Произведение P₂ ×Y₀ это функция вида Y₂ =A₂ × (ax² +bx+c)×exp(-ax² ), но у неё остаётся лишь подобрать коэффициенты...

У третьего уровня должно быть три узла. Они возникают, если сомножитель организован в виде кубической параболы, и Y₃ =P₃ ×Y ₀ = A₂ ×(dx³ +ex² +fx +g)×exp(-ax² ).

Продолжая эту процедуру, нетрудно получить любую функцию спектра.

Численные коэффициенты в таком наборе функций подбираются из условия их нормировки и взаимной ортогональности, а именно:

6.3.1. О характеристичности молекулярных колебаний.

Колебания различных химических связей обладают высокой степенью индивиду­альности. Это свойство называют характеристичностью. В колебательных спектрах частота и нередко даже графический вид колебательной полосы (или линии) поглощения какой-то определённой химической связи или группы (органического алкильного радикала или иного молекулярного фраг­мента) хо­рошо воспроизводятся в спектрах различных молекул, содержащих эти группы атомов. Эта индивидуальность является основой аналитического применения колебательной спектроскопии. Характеристики молекулярных колебаний можно получить с помощью различных методов спектроскопии инфракрасного (ИК) поглощения или спектроскопии комбинационного рассеяния (КР).

Диаграмма энергетических уровней и графики волновых функций осциллятора.

Уровни гармонического осциллятора согласно (6.8) эквидистанты, и соседние (Dv=1) отстоят на hn, где n собственная частота молекулярного колебания.

6.4. Качественное сравнение волновых функций одномерного ящика и осциллятора выявляет их качественное сходство. Число пучностей и узлов волновых функций увеличивается с но­мером уровня. Это свойство общее для всех квантовых систем.

6.5. Трёхмерный потенциальный «ящик». Модель одномерного «ящика» легко обобщается для трёхмерного движения в замкнутом пространстве параллелепипеда или куба. Рассмотрим для простоты куб с ребром L . Переменные независимы, и гамильтониан вида

.(6.9)