Реферат: Устойчивость систем дифференциальных уравнений

откуда получаем .

Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения В Рё . При  решения  монотонно убывают РѕС‚ В РґРѕ 0, Р° РїСЂРё  решения  монотонно возрастают РѕС‚ В РґРѕ бесконечности. Так как , то отсюда следует, что при В Рё В РІСЃРµ траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся РѕС‚ окружности В Рє бесконечно удаленной точке или Рє началу координат РїСЂРё неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия Рё одновременно w-предельным множеством для всех траекторий, Сѓ которых . Если , то w-предельное множество траектории пусто. Окружность  является замкнутой траекторией Рё одновременно a-предельным множеством для всех траекторий, отличных РѕС‚ положения равновесия.

1.4. Траектории линейных систем на плоскости.

Рассмотрим автономную линейную РѕРґРЅРѕСЂРѕРґРЅСѓСЋ систему В (3) СЃ постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и . В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду ,

где J — жорданова форма матрицы A . В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:

1)  вещественны, различны Рё . В этом случае . Параметрические уравнения траекторий таковы: . Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими  или . При В Рё

.

Картина расположения траекторий при , имеющая специальное название — узел , изображена на рис. 1а.

2)  вещественны Рё . Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом , изображена на рис. 1б.

3)  комплексно-сопряженные. Пусть . В преобразовании X = SY , где В Рё  — линейно независимые собственные векторы, соответствующие В Рё . Так как А вещественна, В Рё  можно выбрать комплексно-сопряженными. РўРѕРіРґР° Рё . Положим , , а в качестве фазовой плоскости возьмем . Переменная  связана СЃ Х соотношением X = SY = = STZ = QZ , где , . Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду

где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А .

Введем полярные координаты , или , . Имеем: . Отделяя вещественные и мнимые части, получим:

.

Следовательно, . При  траектории образуют спирали (СЂРёСЃ. 1РІ). Такое положение траекторий называется фокусом . При В РІСЃРµ траектории — окружности. Р’ этом случае получаем центр . В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2p/b.

4) . Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В

Решением этой системы будет функция . В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы

Р РёСЃ. 1 . Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел

1.5. Линейные однородные системы
с периодическими коэффициентами.

В данном пункте излагается так называемая теория Флоке .

Будем рассматривать систему вида В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (4)

где , а матричная функция P (t ) удовлетворяет условию P (t + w) = P (t ), w>0 при всех . Такие матричные функции будем называть периодическими с периодом w или w-периодическими.

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид

где G — w-периодическая матрица, R — постоянная матрица.

Матрица В , определяемая равенством , называется матрицей монодромии. Для нее справедливо . Она определяется с помощью фундаментальной матрицы неоднозначно, но можно показать, что все матрицы монодромии подобны. Часто матрицей монодромии называют ту, которая порождается нормированной при  фундаментальной матрицей , то есть .

Собственные числа  матрицы РјРѕРЅРѕРґСЂРѕРјРёРё называются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа  матрицы R — характеристическими показателями . Из определения R имеем , при этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным — характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.

Характеристические показатели определены с точностью до . Из В Рё формулы Лиувилля следует, что .

Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:

Теорема . Число mявляется мультипликатором уравнения (4) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение  этого уравнения такое, что РїСЂРё всех t .

Следствие 1 . Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное решение периода w тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее мультипликаторов равен единице.

Следствие 2 . Мультипликатору  соответствует так называемое антипериодическое решение  периода w, С‚. Рµ. . Отсюда имеем:

Таким образом,  есть периодическое решение СЃ периодом . Аналогично, если В (p и q — целые, ), то периодическая система имеет периодическое решение СЃ периодом .

Пусть , где  — матрица РёР· теоремы Флоке,  — ее жорданова форма. РџРѕ теореме Флоке , или ,В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (5)

где  — фундаментальная матрица,  — w-периодическая матрица. Р’ структуре фундаментальной матрицы линейной системы СЃ периодическими коэффициентами характеристические показатели играют ту же роль, что Рё собственные числа матрицы коэффициентов РІ структуре фундаментальной матрицы линейной системы СЃ постоянными коэффициентами.