Реферат: Устойчивость систем дифференциальных уравнений
откуда получаем .
Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения В Рё
. При
 решения
 монотонно убывают от
В РґРѕ 0, Р° РїСЂРё
 решения
 монотонно возрастают от
 до бесконечности. Так как
, то отсюда следует, что при
В Рё
 все траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся от окружности
 к бесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия и одновременно w-предельным множеством для всех траекторий, у которых
. Если
, то w-предельное множество траектории пусто. Окружность
 является замкнутой траекторией и одновременно a-предельным множеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия.
1.4. Траектории линейных систем на плоскости.
Рассмотрим автономную линейную РѕРґРЅРѕСЂРѕРґРЅСѓСЋ систему В (3) СЃ постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и
. В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду
,
где J — жорданова форма матрицы A . В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:
1)  вещественны, различны и
. В этом случае
. Параметрические уравнения траекторий таковы:
. Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими
 или
. При
В Рё
.
Картина расположения траекторий при , имеющая специальное название — узел , изображена на рис. 1а.
2)  вещественны и
. Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом , изображена на рис. 1б.
3)  комплексно-сопряженные. Пусть
. В преобразовании X = SY
, где
В Рё
 — линейно независимые собственные векторы, соответствующие
В Рё
. Так как А вещественна,
В Рё
 можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и
. Положим
,
, а в качестве фазовой плоскости возьмем
. Переменная
 связана СЃ Х соотношением X = SY = = STZ = QZ , где
,
. Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду
где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А .
Введем полярные координаты , или
,
. Имеем:
. Отделяя вещественные и мнимые части, получим:
.
Следовательно, . При
 траектории образуют спирали (СЂРёСЃ. 1РІ). Такое положение траекторий называется фокусом . При
В РІСЃРµ траектории — окружности. Р’ этом случае получаем центр . В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2p/b.
4) . Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
Решением этой системы будет функция . В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы
Р РёСЃ. 1 . Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел
1.5. Линейные однородные системы
с периодическими коэффициентами.
В данном пункте излагается так называемая теория Флоке .
Будем рассматривать систему вида В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (4)
где , а матричная функция P (t ) удовлетворяет условию P (t + w) = P (t ), w>0 при всех
. Такие матричные функции будем называть периодическими с периодом w или w-периодическими.
Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид
где G — w-периодическая матрица, R — постоянная матрица.
Матрица В , определяемая равенством , называется матрицей монодромии. Для нее справедливо
. Она определяется с помощью фундаментальной матрицы неоднозначно, но можно показать, что все матрицы монодромии подобны. Часто матрицей монодромии называют ту, которая порождается нормированной при
 фундаментальной матрицей
, то есть
.
Собственные числа  матрицы РјРѕРЅРѕРґСЂРѕРјРёРё называются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа
 матрицы R — характеристическими показателями . Из определения R имеем
, при этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным — характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.
Характеристические показатели определены с точностью до . Из
 и формулы Лиувилля следует, что
.
Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:
Теорема . Число mявляется мультипликатором уравнения (4) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение  этого уравнения такое, что РїСЂРё всех t
.
Следствие 1 . Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное решение периода w тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее мультипликаторов равен единице.
Следствие 2 . Мультипликатору  соответствует так называемое антипериодическое решение
 периода w, т. е.
. Отсюда имеем:
Таким образом,  есть периодическое решение СЃ периодом
. Аналогично, если
В (p и q — целые,
), то периодическая система имеет периодическое решение с периодом
.
Пусть , где
 — матрица из теоремы Флоке,
 — ее жорданова форма. По теореме Флоке
, или
,В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (5)
где  — фундаментальная матрица,
 — w-периодическая матрица. В структуре фундаментальной матрицы линейной системы с периодическими коэффициентами характеристические показатели играют ту же роль, что и собственные числа матрицы коэффициентов в структуре фундаментальной матрицы линейной системы с постоянными коэффициентами.