где  — w-периодическая вещественная скалярная функция. Мультипликаторами уравнения (6) будем называть мультипликаторы соответствующей линейной системы, С‚. Рµ. системы

с матрицей . Так как , то . Мультипликаторы являются собственными числами матрицы

,

где  — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям В , а  — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям В . Пусть  — характеристическое уравнение для определения мультипликаторов. Так как , то оно принимает вид , где .

2. Устойчивость решений систем
дифференциальных уравнений.

2.1. Устойчивость по Ляпунову.

Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Предположим, что система при старте из начальной точки  порождает траекторию . Рассмотрим РґСЂСѓРіСѓСЋ траекторию той же системы , стартовая точка которой близка к . Если обе траектории остаются близкими в любой последующий момент времени, то траектория  называется устойчивой РїРѕ Ляпунову.

Наглядная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рис. 2. Когда говорят просто об устойчивой траектории, то всегда имеется в виду устойчивость по Ляпунову.

Рис. 2. Качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу (траектория остается в замкнутой области), по Пуассону (траектория многократно возвращается в e-окрестность стартовой точки) и по Ляпунову (две близкие на старте траектории остаются близкими всегда)

Рассмотрим уравнение                                                                                    (1)

где В Рё функция f удовлетворяет в G условию Липшица локально:

В Рё , где  — константа, РЅРµ зависящая РѕС‚ выбора точек В Рё .

Предположим, что уравнение (1) имеет решение , определенное при , и что . Чтобы перейти к исследованию нулевого решения, выполним в (1) замену . В результате получим уравнение

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В ,В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (2)

где  определена РІ области, содержащей множество . Это уравнение называется уравнением в отклонениях. Пусть  — решение (2) СЃ начальными данными .

Определение . Решение  уравнения (2) называется устойчивым РїРѕ Ляпунову, если для , такое, что при В .

Решение  называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует  такое, что  при .

Неустойчивость решения  означает следующее: существуют положительное , последовательность начальных точек В РїСЂРё , и последовательность моментов времени  такие, что .

При исследовании вопроса об устойчивости решений часто прибегают к заменам переменных, позволяющим упростить вид рассматриваемого уравнения. Сделаем в (2) замену , где функция  определена РїСЂРё всех В Рё непрерывна РїРѕ z при  равномерно относительно , причем . Пусть уравнение  однозначно разрешимо относительно z : , где  определена РЅР° множестве В Рё непрерывна РїРѕ y при  равномерно относительно . Пусть уравнение (2) заменой  можно преобразовать РІ уравнение .

Лемма . При сделанных предположениях нулевое решение уравнения (2) устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво тогда и только тогда, когда соответственно устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво нулевое решение уравнения .

Пусть уравнение (2) автономно, а его нулевое решение асимптотически устойчиво. Множество  называется областью притяжения решения .

2.2. Устойчивость линейных однородных систем.

Пусть