Введение. 3

1. Свойства систем  дифференциальных уравнений. 4

1.1. Основные определения. 4

1.2. Траектории автономных систем. 5

1.3. Предельные множества траекторий. 6

1.4. Траектории линейных систем на плоскости. 8

1.5. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами. 10

2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. 12

2.1. Устойчивость по Ляпунову. 12

2.2. Устойчивость линейных однородных систем. 14

2.3. Устойчивость периодических решений. 17

2.4. Классификация положений равновесия системы второго порядка. 18

2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы. 23

2.6. Устойчивость по первому приближению. 25

2.7. Экспоненциальная устойчивость. 28

3. Второй метод Ляпунова. 29

3.1. Основные определения. 29

3.2. Теоремы второго метода Ляпунова. 30

3.3. Устойчивость по первому приближению. 33

Заключение. 36

Список литературы. 37

Введение.

Решения большинства дифференциальных уравнений Рё РёС… систем РЅРµ выражаются через элементарные функции, Рё РІ этих случаях РїСЂРё решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать РЅРµ конкретные численные решения, Р° особенности решений: поведение отдельных решений РїСЂРё изменении параметров систем, взаимное поведение решений РїСЂРё различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы РїСЂРё изменении параметров. Р’СЃРµ эти РІРѕРїСЂРѕСЃС‹ изучает качественная теория дифференциальных уравнений .

Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым.

Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. В данной курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивости непрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения, необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие устойчивости решений систем в общем виде и по первому приближению; в главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова.

1. Свойства систем
дифференциальных уравнений.

1.1. Основные определения.

Пусть  — непрерывные РІ области G (n +1)-мерного пространства скалярные функции.

Определение . Совокупность уравнений

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (1)

называется нормальной системой n дифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В

Определение . Решением системы (1) РЅР° интервале (a , b ) называется совокупность n функций , непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если при всех :

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--