Реферат: Узагальнена функція Гріна
Розв’яжемо вироджену крайову задачу за допомогою методу варіації довільних сталих, вважаючи, що умова ортогональності (4) справджується. Виберемо лінійно незалежний з розв’язок
однорідного рівняння (1) так, щоб виконувалася рівність
Цим ми дещо спростимо формули, які буде одержано нижче. Шукаємо розв’язок (3) методом варіації сталих у вигляді
(6)
отримаємо таку систему:
Розв’яжемо її відносно та
за правилом Крамера.
Маємо рівняння
,
(7)
При цьому
Тому, аби розв’язок задовольняв крайову умову в точці
,необхідно вимагати виконання рівності
. Звідси
і з урахуванням (4)
. Остання рівність забезпечить справдження крайової умови в правому кінці проміжку
.
Загальний розв’язок першого з рівнянь (7) візьмемо у вигляді , де
- довільна стала. Підставивши знайдені функції
,
в (6), дістанемо одно параметричну сім’ю функцій
, (8)
Кожна з яких є розв’язком крайової задачі (3),(2). Умову ортогональності (5) завжди можна задовольнити, відповідним чином обравши довільнусталу с1 .
Підсумком наведених міркувань є така теорема:
Теорема1
Розв’язок крайової задачі (3) (2) існує тоді і лише тоді, коли функція ортогональна до кожного розв'язку відповідної однорідної крайової задачі.
Тепер покажемо, що розв’язок(8) можна подати у вигляді інтегрального перетворення
,
Де функція задовольняє крайові умови й при кожному
є ортогональною до .
Насамперед, запровадивши функцію
за аналогією з не виродженим випадком, перепишемо (8) у вигляді
(9)
Оскільки ,
,
,
,
То задовольняє умову лише в лівому кінці проміжку
, адже розв’язок
не задовольняє жодної умови (2). Отже, функцію
доведеться відповідним чином виправити. Для цього звернемо увагу на такий факт:якщо у формулі(9) зробити заміну
-
, де
довільні функції, то вона й надалі визначатиме розв’язок рівняння (3):адже
ортогональна до
. Неважко зрозуміти, що перетворена функція
задовольнятиме обидві крайові умови, якщо функцію
вибрати так, щоб при деякому
виконувалися рівності