Реферат: Випадкова величина

pⁿ

Розподіл Пуассона. Якщо в біноміальному розподілі випадкової величини кількість випробувань і наслідків дуже велика, знаходження ймовірностей за формулою Бернуллі (1) стає обтяжливим у зв’язку з необхідністю обчислення факторіалів великого порядку. У цьому випадку було отримано наслідки формули Бернуллі, один з яких полягає у наступному.

Нехай кількість випробувань необмежено зростає, але так, щоб її добуток на ймовірність появи події A в кожному випробуванні, тобто , залишався скінченою величиною порядку одиниці. Це передбачає дуже мале значення ймовірності , отже розглядаються дуже рідкі події та дуже довгі серії випробувань. При формалізації відзначених умов у формулі Бернуллі (1) можна перейти до границі

або остаточно отримати формулу Пуассона для ймовірності появи разів дуже рідкої події A у практично нескінченних випробуваннях

Розподіл випадкової величина за цією формулою називається законом Пуассона (законом рідкісних подій). Число l називається параметром розподілу. Цей закон можна подати у вигляді:

Таблиця 5

x	0	1	…	k	…
p	e- l	le- l	…		…

Розглянемо типову задачу, що приводить до розподілу Пуассона. Нехай подія А означає відмову складного пристрою протягом малого проміжку часу. Причиною відмови є вихід з ладу будь-якої деталі. Режим роботи пристрою не змінюється з часом, відмова окремих деталей відбувається незалежно одна від одної, причому за одиницю часу "в середньому" відбувається l відмовлень.

При цих допущеннях з великим ступенем точності виконуються такі умови:

1. Ймовірність появи відмови на проміжку часу (0, Т) така сама, як і на задовільному проміжку довжиною T (t,t+T).

2. Появи відмовлень на проміжках часу, що не перекриваються, незалежні.

Ймовірність появи відмовлення за нескінченно малий проміжок часу визначається за формулою:

р(А)=l Dt+o(Dt), Dt®0.

4. Імовірність появи більше однієї відмови є о(Dt), Dt®0.

Розіб'ємо інтервал (t,t+T) на n рівних частин .

Розглядатимемо реєстрацію відмови як окреме випробування

При цьому приходимо до розподілу Пуассона для кількості відмовлень за час Т