;

В фиксированный момент времени;

, ,

2.4. Фазовая скорость

Фазовая скорость и волны есть скорость распространения точек одинаковой фазы:

Эта скорость равна скорости гармонической волны. Фазовая скорость:

u=/k=

k=2 т.е.u=

??????????????:

W(x,t)

U

t-kx- =const дифференцируем

u

W

t-k, U=lim(

W(x,t+)

U

X

U_Е =U_x /cos т.е. т.к. cos<1,.

то фазовая скорость может превышать скорости света

Элементы векторного анализа

Необходимо уметь анализировать не только скалярные, но и векторные функции точки.Скалярные функции: температура неравномерно нагретого тела, плотность неоднородного тела и т. д.Векторные функции: скорость частиц текущей жидкости, сила земного притяжения, магнитное и электрическое напряжение электрического поля.Рассмотрение скалярных и векторных функций точки привело к построению теории поля.

Векторное поле а(М) называется дифференцируемым в точке М, если оно определено в окрестности точки М и если приращение ∆a=a(M’)-a(M) поля может быть представлено в виде:

∆a=А(∆r)+E(∆r);

∆r=MM ’ ; A и E – линейные операторы;

А – не зависит от ∆r; E зависит, при ∆r=0 E=0;

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости векторного поля а заключается в дифференцируемости его координат P, Q, R. При этом линейный оператор А изображается матрицей:

дР/дх, дР/ду, дР/д z

А= д Q /дх, д Q /ду, д Q /д z

д R /дх, д R /ду, д R /д z

и вектор-функция А(∆r) имеет вид:

A(∆r)=1/2{A(∆r)+A^* (∆r)}+1/2[p A(r)].

Дивергенция

Сумма диагональных элементов матрицы, представляющей симметричную линейную вектор-функцию ½{A(∆r)+A^* (∆r)} не зависит от выбора системы координат: она называется дивергенцией (расхождением) векторного поля а и обозначается diva :

diva =д P /дх+д Q /ду+д R /д z .

Вектор Р называется вихрем (ротором) поля а и записывается в виде:

rota =(д R /ду-д Q /д z ,дР/д z - R д/дх, д Q /дх-дР/ду );

Если V поле скоростей текущей жидкости и rotV ≠ 0, то частица движется по замкнутым линиям (образуются вихри). divV в этом случае характеризует интенсивность источника divV >0 и стока divV <0, находящегося в этой точке или отсутствие источника и стока.

Сегодня общепринято представлять уравнения Максвелла в векторной форме. Описания в декартовых координатах менее информативно.

Мы в основном будем пользоваться следующимиобозначениями:

1.Всегда используется правая системакоординат: т.е. такая вкоторой положительная ось Х совмещается с осью У,если наблюдатель смотрит вдоль положительного направления оси Z.

2.Векторы обозначаются буквами: