Реферат: Волны в упругой среде. Волновое уравнение

(2.8)

справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.

Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим:

(2.9)

Вспомнив теперь формулу , содержащую определение дефор­мации, и подставив ее в (2.9), получаем:

(2.10)

Это—волновое уравнение. Оно указывает, что смещение распростра­няется но стержню в виде волн

(2.11)

или образует суперпозицию таких волн. Скорость распро­странения этих волн (скорость звука в стержне)

(2.12)

(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики.

Наряду со смещением нас интересуют скорость v = , с которой

.движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u ), деформация и напряжение . Дифференцируя (2.11) по t и но x , получаем:

v= uf’(x ut) (2.13a)

=f'(x ut), (2.13б)

=Ef’ (x ut). (2.13в)

Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распро­страняются в виде связанных определенным образом между собой неде­формирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое на­правление распространения.

На рис. 5 показан пример «моментальных снимков», относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорцио­нальны производной f'{x ut). Физическая интерпретация здесь оче­видна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяже­ния, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (ми­нимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).

Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что

(2.14)

где

(2.15)

есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности потенциалов, v - силе тока).

§ 2. Упругие волны в газах и жидкостях

1. Волновое уравнение.

Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непре­рывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смеще­нием мы здесь понимаем (как и в § 1) общее смещение вещества, запол­няющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.

Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой парал­лельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню (§ 1). Мы придем, таким образом, к уравнению

(2.16)

где р = — есть давление в газе или жидкости. Здесь — значение плот­ности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р₀ . Ве­личины р₀ , не зависят ни от х , ни от t.