Реферат: Волны в упругой среде. Волновое уравнение

Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою оче­редь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является однозначной функцией плотности , и следовательно, давление также.

При заданной деформации в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет, существенной роли.

В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расшире­нии.

Есть однозначная функция плотности:

p=f(p). (2.17)

Введем обозначения

, (2.18) где и — соответственно изменения давления и плотности при нару­шении равновесия.

Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.

получаем:

(2.19)

Найдем теперь связь между и деформацией = . Мы сначала выразим через , а затем через :

а) Подставляя (6.28) в (6.27), имеем:

P₀ +=f( +)

разлагая f( +) в ряд по степеням ,

P₀ +=f( )+f’( )+1/2f’( )( )² ......

Так как P₀ =f( ), то получаем:

=f’( )+1/2f’’( )()² ..... (2.20)

Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплот­нения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в раз­ложении (2.20) членами, пропорциональными ( )² , ( )³ , . . ., и заменить (2.20) линейным соотношением

=f’( )

Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интен­сивности.

f’ () —постоянный при данных условиях опыта коэффициент, опреде­ляемый состоянием среды при равновесии.

б) Объем V₀ в результате деформации превращается в объем

V=V₀ (1+ ), (2.21)

так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина превращается в . Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:

Подставляя (2.18) и (2.21), получаем:

Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины , получаем:

Таким образом,

(2.22)