Реферат: Введение в теорию атома

Постоянная легко определяется из радиальной части. Угловая часть уравнения Лапласа представляет собой дифференциальное уравнение Лежандра. Это второе из двух уравнений системы вида

. (8.13)

8.12. Уравнение Лежандра

Это операторное уравнение на собственные функции и собственные значения. В квантовой механике таковы все уравнения для динамических переменных. Дифференциальное уравнение Лежандра с точностью до постоянного множителя совпадает с операторным уравнением насобственные значения оператора квадрата момента импульса. Напомним, что оператор момента импульса равен

Возводя его в квадрат и вынося влево постоянный множитель, получаем:

Заменяя декартовы координаты шаровыми и производя всю последовательность действий, находим, что слева получается оператор Лежандра:

. (8.14)

На этом основании решения уравнения Лежандра являются также и решениями операторного уравнения на собственные значения квадрата момента импульса. Так получается строгая формула квантования модуля и проекции момента импульса.

8.13. Квадрат модуля момента импульса определяется собственными значениями оператора Лежандра. Для сравнения представим оба выражения:

. (8.15)

Допустимые значения модуля момента импульса свободно вращающейся вокруг центра масс квантовой системы (ротатора) следуют из операторного уравнения (8.15):

. (8.16)

8.14. Уравнение Лежандра содержит две угловые переменные. Их необходимо разделить и исследовать свойства вращения. Раскрывая оператор Лежандра, получаем

. (8.17)

Шаровые функции представим в виде . Их ещё называют сферическими гармониками из-за того, что у них, как и у обычных тригонометрических гармоник – синусоиды и косинусоиды имеются чередующиеся в пространстве пучности и узлы.

Разделим переменные:

Получена система (8.18) из двух дифференциальных уравнений (8.18.1 и 8.18.2), решения которых связаны общей постоянной.

8.15. Одно из них (8.18.1) имеет знакомый вид. Оно идентично уравнению Шрёдингера для плоского ротатора и описывает свойства вращения относительно оси вращения (вдоль переменной долготы). Полное совпадение с плоским ротатором получится лишь при условии, что в атоме H это уравнение характеризует лишь часть всей ситуации и определяет проекцию момента импульса на ось вращения

Из этого уравнения вытекают значения компоненты момента импульса вдоль оси вращения (в нашем случае – вдоль оси аппликат): (8.21)

8.16. Второе из уравнений (8.18.2) системы - дифференциальное уравнение для широты:

(8.22)

Наконец-то обратимся к уравнению Шрёдингера для водородоподобного атома!

8.17. Гамильтониан и уравнение Шрёдингера

. (8.23)

8.17. Несложные преобразования, состоящие только в перемещении и группировке слагаемых, дают следующее: