Министерство науки и образования Украины

ДГМА

Реферат

на тему:

Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц.

Подготовил

учащийся 1КД гр.

Сергей Шрам

Краматорск

2003

Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц.

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

или

Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a _ij || , а иногда с разъяснением: А = || a _ij || = ( a _ij ), где ( i = 1, 2, ..., т, j =1, 2, ..., n ).

Числа a _ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a _ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. В случае квадрат-ной матрицы

(1.1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а₁₁ а₁₂ … a_nn идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называ­ется диагональ а _{n 1} а_{( n -1)2} … a _{1 n} , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Основные операции над матрицами и их свойства.

Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операции над матрицами.

Сложение матриц. Суммой двух матриц A = || a _ij || , где ( i = 1, 2, ..., т, j =1, 2, ..., n ) и В = || b _ij || , где ( i = 1, 2, ..., т, j =1, 2, ..., n ) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c _ij || (і =1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы с _ij которой определяются по формуле

, где ( i = 1, 2, ..., т, j =1, 2, ..., n ) (1.2)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

+ =

Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: А + В = В + А,

2) сочетательным свойством: (A + B ) + С = А + (В + С).

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = || a_ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) на вещественное число l, называется матрица С = || c _ij || (і =1,2, ..., m ; j = 1, 2, ...., n ) , элементы которой определяются по формуле:

, где ( i = 1, 2, ..., т, j =1, 2, ..., n ) (1.3)

Для обозначения произведения матрицыі на число используется запись С = l A или С = А l . Операция составления произ­ведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) сочетательным свойством относительно числового множителя: ( l m ) A = l ( m A );

2) распределительным свойством относительно суммы матриц: l ( A + B ) = l A + l B ;

3) распределительным свойством относительно суммы чисел: ( l + m ) A = l A + m A

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--