Реферат: Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

Настоящий реферат рассматривает решения задач некоторых задач отборочного этапа Пятого Всеукраинского турнира юных математиков (проводившегося г. Сумы). В кратком условии участия было отмечено, что «предлагаемые задачи достаточно сложны и необязательно должны быть решены полностью. Оцениваться будут и отдельные продвижения и разбор частных случаев. В некоторых случаях можно решить аналогичную или более простую задачу». Данный реферат имеет несколько не доведенных до конца задач, либо решенных частично. Также приведены некоторые задач финального тура.

«Геометрические миниатюры»

Условие: Зафиксируем на плоскости АВС и обозначим через S_L , S_M , S_K площади треугольников, вершинами которых есть, соответственно, основания биссектрис, медиан и точек касания вписанной окружности. Доказать, что.

Решение

Решение задачи разобъем на четыре этапа:

1. Докажем, что

2. Докажем, что

3. Докажем, что

4. Из этапов (2) и (3) ясно, что , поэтому докажем, что

Этап 1 : Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС.

Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P, S и Q. Обозначим отрезки AP, CQ и BS как x, y и z соответственно. Тогда из «отрезки касательных, проведенных из одной точки равны», следует, что AC = AQ = x, CQ = CS = y, BS = BP = z.

Составим и решим систему.

Найдем отношение площади PSQ к площади АВС через разность площадей S PSQ = S АВС – (S APQ + S CQS + S BPS).

Аналогично,

и

Тогда из S PSQ = S АВС – (S APQ + S CQS + S BPS) Þ

Подставим значения

Раскрыв скобки, выражение можно записать как

Длины сторон треугольника всегда положительны, значит используем неравенство Коши: . Аналогично, для трех чисел:

Подставим неравенства в числители дробей

.

Итак, отношение площади треугольника PSQ (по условию - S_k ) , вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС: .

Этап 2 : Найдем отношение площади треугольника, вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади данного треугольника АВС.

Пусть АН, BG, CF – биссектрисы АВС, тогда FGH – искомый треугольник. Найдем отношение площадей данного треугольника и FGH.

Обозначим AF = x, BH = y, CG = z. По свойству биссектрис («биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам»), тогда

Значит,

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--