Реферат: Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень

. (4)

Показник апостеріорної ймовірності гіпотези. Матриця втрат – це додаткова апріорна інформація, що може бути не задана. У цьому разі раціонально вибрати критерій, в якому вона не фігурує. Це може бути апостеріорна ймовірність гіпотези , що обчислюється за формулою Байєса:

. (5)

Використовують й інші показники якості. Досить часто (особливо в задачах оцінювання параметрів) закритерій якості приймають саму функцію правдоподібності.

Розглянуті показники якості рішення використовують для формулювання критеріїв оптимальності рішень при розв’язанні задач обробки сигналів.

3. К ритерії оптимальності рішень у задачі перевірки гіпотез

Розглянемо критерії оптимальності рішень при вирішенні задач перевірки гіпотез.

Байєсівський критерій оптимальності використовує середній ризик (2) і вимагає його мінімізації (у загальному випадку забезпечення нижньої границі):

. (6)

Рішення – це гіпотеза , що забезпечує мінімум середнього ризику. Останній шукається у множині відображень простору спостережень у простір рішень . Нагадаємо, що аргумент функції правдоподібності – це значення параметра (або номер гіпотези). Тому зручно (6) записувати також у вигляді

. (7)

Критерій мінімуму середньої ймовірності похибки (критерій Зігерта-Котельникова або критерій ідеального спостерігача). У цьому разі використовується показник якості рішення (3). Цей критерій оптимальності вимагає мінімізації величини середньої ймовірності похибки:

, (8)

або

. (8а)

Критерій називають також критерієм „ідеального спостерігача”, тому що можна уявити собі, що деякий спостерігач задає вагову матрицю так, що вона завжди нульова , коли приймається правильне рішення. А коли виникає похибка,він не цікавиться тим, як саме вона виникла, і завжди задає однаковий вагомий коефіцієнт .

Іноді зручніше використовувати замість максимум імовірності правильного рішення (4):

. (9)

Критерій максимуму апостеріорної ймовірності. Згідно з показником якості (5) критерій оптимальності рішення задається так: серед гіпотез вибирається такий номер „”, що забезпечується максимум у (5):

. (10)

Мінімаксний критерій оптимальності . Введені вище критерії по суті вимагали знання розподілу переданого сигналу, що дає змогу ввести ймовірності гіпотез . Коли розподіл невідомий, можна врахувати найгірший випадок – мінімізувати середній ризик в умовах найгіршого (з точки зору величини ризику) розподілу:

. (11)

У теорії статистичних рішень доводиться, що рішення буде таке саме, якщо використовувати умовні ризики

та вимагати, щоб рішення шукалось за умови

. (11а)

Мінімаксний критерій приводить до байєсівського рішення в умовах найгіршого розподілу параметра (переданого сигналу).

Критерій оптимальності Неймана-Пірсона. Спинимося детальніше на ілюстрованому прикладі приймання сигналів амплітудної маніпуляції. Тут задається лише дві гіпотези. Гіпотезу називають основною, а – альтернативною. Ставиться задача перевірки гіпотези проти альтернативи . Часто гіпотези несиметричні і зручно основну увагу приділити одній з них. Саме таку гіпотезу у математичній статистиці називають основною і позначають .

У задачі перевірки гіпотези проти альтернативи мають місце дві похибки – умовні ймовірності: