Реферат: Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень

та

.

Ситуація, коли приймається гіпотеза за істинної гіпотези , означає, що дійсно сигналу немає (існує тільки шум), але приймається рішення про існування сигналу. Тому називають умовно імовірністю хибної тривоги. У математичній статистиці її називають умовною ймовірністю похибки першого роду. У разі, коли приймається гіпотеза при істинній гіпотезі (фізично сигнал існує), то приймається хибне рішення, що сигналу немає. Тому називають умовною ймовірністю пропуску сигналу, у математичній статистиці її називають умовною ймовірністю похибки другого роду.

Крім імовірностей похибок та у задачі перевірки гіпотези проти альтернативи розглядають також імовірності правильних рішень

та

.

Критерій оптимальності рішення Неймана-Пірсона використовує два показники якості рішень – умовні ймовірності хибної тривоги та пропуску цілі. У класичній літературі з теорії статистичних рішень ця обставина не підкреслюється. Але на рівні сучасної теорії вибору рішень (чи оптимізації систем і пристроїв) про це треба пам’ятати.

Критерій Неймана-Пірсона вимагає знаходження рішення, що забезпечує мінімальне значення умовної ймовірності пропуску цілі

(12)

при обмеженні умовної ймовірності хибної тривоги .

Замість (12) часто використовують умову максимізації ймовірності правильного рішення про наявність цілі:

при обмеженні . (12а)

4. Критерії оптимальності в задачі о цінювання параметрів

Критерії оптимальності в задачі оцінювання параметрів розподілів ймовірностей мають деякі відмінності порівняно із задачею перевірки гіпотез. Різниця у тому, що параметр функції правдоподібності у задачах вибору гіпотез має дискретний характер (і значення параметра ототожнюється з гіпотезами), а в задачах оцінювання параметрів він звичайно набирає значення з континуальної множини. Це відбивається як на вигляді показників (критеріїв) якості рішення, так і на вигляді критеріїв оптимальності. Спинимося на них.

Показник середнього ризику. Середній ризик – це середнє значення функції втрат:

(13)

Тут припускається, що вимірність вектора параметрів у загальному випадку не збігається з вимірністю вектора спостережень .

Показник середньоквадратичної похибки. В окремому випадку квадратичної функції втратсередній ризик приводить до середньоквадратичної похибки оцінювання скалярного параметра

. (14)

Величина цієї похибки і використовується як показник якості рішення.

Показник апостеріорної щільності ймовірності. Для завдання цього показника (критерію) якості використовують відповідну формулу Байєса:

. (15)

Наведені показники (критерії) якості дають змогу ввести відповідні критерії оптимальності рішень.

Байєсівський критерій оптимальності. Аналогічно (6), байєсівський критерій оптимальності характеризується умовою мінімізації середнього ризику (13):

. (16)

Враховуючи, що

,

співвідношення (16) можна записати так: