Реферат: Законы сохранения в механике

А похідна [pic] дорівнює моменту всіх сил, що діють на [pic]-ту частинку. Представимо цей момент у вигляді суми моментів внутрішніх і зовнішніх сил, тобто [pic]. Тоді:

[pic].

Тут перша сума – це сумарний момент всіх внутрішніх сил відносно точки [pic], друга сума – сумарний момент всіх зовнішніх сил відносно тієї ж точки [pic].

Покажемо, що сумарний момент всіх внутрішніх сил відносно довільної точки дорівнює нулю. Дійсно, внутрішні сили – це сили взаємодії між частинками даної системи. За третім законом Ньютона, ці сили попарно однакові по модулю, протилежні за напрямком і лежать на одній прямій, тобто мають однакове плече. Тому моменти сил кожної пари взаємодії рівні по модулю і протилежні за напрямком, тобто зрівноважують одна одну, а значить, сумарний момент всіх внутрішніх сил завжди дорівнює нулю.

В результаті останнє рівняння приймає вигляд:

[pic], (20) де [pic] – сумарний момент всіх зовнішніх сил, [pic].

Рівняння (20) стверджує: похідна моменту імпульсу системи по часу дорівнює сумарному моменту всіх зовнішніх сил.

Як і у випадку однієї частинки, з рівняння (20) випливає, що приріст моменту імпульсу системи за скінчений проміжок часу [pic]:

[pic], (21) тобто приріст моменту імпульсу системи дорівнює імпульсу сумарного моменту всіх зовнішніх сил за відповідний проміжок часу. І тут обидва моменти, [pic] і [pic], визначені відносно однієї і тієї ж точки [pic] вибраної системи відліку.

Рівняння (20) і (21) справедливі як в інерційній, так і в неінерційній системах відліку. Тільки в неінерціальній системі відліку потрібно враховувати і дію сил інерції, які відіграють роль зовнішніх сил, тобто за [pic] в цих рівняннях приймати суму [pic], де [pic] – сумарний момент зовнішніх сил взаємодії, [pic] – сумарний момент сил інерції (відносно однієї і тієї ж точки [pic] системи відліку).

Отже, ми прийшли до важливого висновку: згідно з рівнянням (20), момент імпульсу системи може змінюватися під дією лише сумарного моменту всіх зовнішніх сил. Звідси безпосередньо випливає і інший важливий висновок – закон збереження моменту імпульсу: в інерціальній системі відліку момент імпульсу замкнутої системи частинок залишається постійним, тобто не змінюється з часом.

Причому це справедливо для моменту імпульсу, взятого відносно будь- якої точки інерціальної системи відліку.

Таким чином, в інерціальній системі відліку момент імпульсу замкнутої системи частинок:

[pic].

Якісним підтвердженням закону збереження моменту імпульсу може бути дослід з лавкою Жуковського. Демонстраційна лавка, яку запропонував Жуковський, являє собою металевий круг, який обертається з досить малим тертям навколо вертикальної осі. Людина з гантелями в руках сідає на лавку, Момент зовнішніх сил дорівнює нулю (моментом сил тертя можна знехтувати, оскільки сили невеликі; центр тяжіння системи людина – площадка лежить на осі обертання, тобто момент сили тяжіння дорівнює нулю). Лавку приводять в обертання з кутовою швидкістю [pic], коли людина тримає гантелі на витягнутих в сторони руках. Якщо людина піднесе гантелі до грудей, кутова швидкість помірно зросте; при розведенні рук – знову зменшиться. Змінюючи положення гантелей, людина знімає момент інерції.

Закон збереження моменту кількості руху справедливий і для системи твердих тіл. При додаванні рівнянь руху і рівнянь моментів внутрішні сили і моменти внутрішніх сил взаємно знищуються. Тому якщо момент зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то загальний момент кількості руху системи залишається незмінним.

Так сила тяжіння, що діє з боку Сонця, не може змінити швидкості обертання Землі навколо осі. Її вплив на швидкість обертання Місяця навколо Землі дуже малий. Тому сума моментів обертання Місяця навколо Землі і обертання Землі навколо осі підкоряються закону збереження моментів. Тертя приливів в земному океані і земній корі, які виникають під дією притягання Місяця, постійно сповільнюють обертання Землі. Дія закону збереження моментів обумовлює збільшення швидкості обертання Місяця навколо Землі. Прискорення руху Місяця на орбіті супроводжується деяким віддаленням його від Землі (біля 1,5 км у століття). Колись, в далекому майбутньому, періоди обертання Місяця навколо Землі і Землі навколо осі стануть однаковими.

Уже з цього прикладу видно, що застосовуючи закон збереження моменту імпульсу до системи тіл, потрібно пам’ятати, що при цьому тіла часто розглядати як матеріальні точки. Тверде тіло може обертатися навколо осі, що проходить через нього і, розглядаючи тіло як точку, ми не враховуємо момент імпульсу.

Із закону збереження моменту імпульсу випливає, що внутрішні сили не можуть змінити момент імпульсу тіла або системи тіл, однак це не означає, що внутрішні сили не можуть змінити момент імпульсу тіла або системи тіл. Однак це не означає, що внутрішні сили не можуть визвати обертання частин всередині системи. Якщо деяка частина системи починає обертатися в одному напрямі, то інша, еквівалентна її частина почне обертатися в протилежному напрямі так, що в цілому для системи закон збереження моменту імпульсу буде виконуватися.

Закон збереження моменту імпульсу відіграє таку ж важливу роль, як і закони збереження енергії та імпульсу. Уже сам по собі від дозволяє зробити в деяких випадках ряд суттєвих висновків про властивості тих чи інших процесів, зовсім не вникаючи в їх детальний розгляд.

Особливий інтерес викликають випадки, коли момент імпульсу [pic] зберігається для незамкнутих систем, у яких, як відомо, імпульс [pic] змінюється з часом. Якщо відносно деякої точки [pic] вибраної системи відліку сумарний момент зовнішніх сил [pic] протягом певного проміжку часу, то момент імпульсу системи відносно точки [pic] зберігається за цей час. У незамкнутих системах, взагалі кажучи, такої точки може і не бути, що слід перш за все з’ясувати для кожного конкретн?