Реферат: Зонная модель твердого тела Уравнение Шредингера для кристалла

Способы решения одноэлектронных задач связанны с именами Хартри и Фока. Особенно много в этом направлении сделал ленинградский ученый Владимир Александрович Фок. Метод Хартри-Фока позволяет много-электронную задачу свести к одноэлектронной, путем замены взаимодействия каждого электрона с усредненным полем всех остальных электронов. Обозначив потенциальную энергию i-го электрона в усредненном поле (Ω_ί ), и зависимую не только от движения всех электронов, но и от движения данного электрона, мы переходим к усредненному полю. Усредненное поле не только определяет движение электрона, но и само зависит от его движения. Его вызывают самосогласованным. С помощью самосогласованного поля удалось значительно продвинуться в решении уравнения Шредингера.

Приближение сильно и слабо связанных электронов

Несмотря на значительное упрощение, которое достигается одноэлектронным приближением, точное решение уравнения Шредингера оказывается очень сложным. Поэтому для его решения были разработаны различные приближения, в частности приближения, в частности приближения сильно и слабо связанных электронов.

Физический смысл этих приближений заключается в следующем: из рис.1 видно, что в кристалле имеются области, где потенциал решетки меняется очень резко, и области, где он меняется слабо. Первый из них располагается непосредственно вблизи ядер. Электрическое поле в этих областях практически такое же как и в изолированных атомах. Области, где потенциал меняется слабо, располагаются между ядрами. На их долю приходится основная доля объема кристалла.

В соответствии с этим при выборе потенциальной энергии U(r) весь объем кристалла удобно делить на две части:

1. Области со слабым полем, в которых

U(r)=U₀ (r)+δU(r), δU(r)<<U₀ (r) (10)

где U₀ (r)=const представляет собою потенциальную энергию электрона в поле положительных ионов в предположении, что это поле компенсировано полем всех остальных электронов, кроме данного; δU(r) учитывает неполную локальную компенсацию поля ионов электронами. Она имеет периодический характер с периодом, равным

На области с сильным полем в которых:

U(r)=Ua+δU(r) δU(r)<<Ua (11)

где Ua - потенциальная энергия электрона в изолированном атоме.

Она является периодической функцией с периодом равным постоянной решетки; δU(2) поправочный член, учитывающий влияние на эту энергию соседних узлов решетки. Волновые функции электронов, обладающих различной энергией, имеют различный характер локализации в объеме кристалла. Волновые функции внутренних электронов на незначительном расстоянии от ядер обращаются практически в ноль и для них пригодна формула (I I). Это будет приближение сильной связи. Для внешних валентных электронов лучше подходит приближение слабо связанных электронов в котором используется формула (I0).

Превращение энергетических уровней свободных атомов в энергетические зоны при образовании кристалла.

Взаимодействие атомов при образовании твердого тела приводит к расширению энергетических уровней атомов и превращению их в кристалле в энергетические зоны.

В атомах время жизни электрона в возбужденном состоянии τ = 10^-8 c

Вспомним принцип неопределенности для энергии

∆E ∆t ≥ ħ

∆t ≈ τ

тогда

∆E ≈ ħ / τ ≈ 10^-7 эВ (ħ = 10^-15 эВс)

Такова естественная ширина спектральных линий, испускаемых атомами.

В кристалле все электроны благодаря туннельному эффекту имеют возможность переходить от атома к атому. В результате уменьшается степень локализации электронов на определенных атомах, что изменяет значение неопределенностей их энергий, т.е. приводит к размытию уровней энергии и превращению их а полосы или зоны.

Так как глубина потенциального поля не играет принципиальной роли, можно заменить потенциальный рельеф кристалла рельефом с конечной глубиной. Кроме этого непрямоугольные барьеры в модели кристалла удобно заменить прямоугольными. Такую модель потенциального рельефа называют моделью Кронинга-Пенни.

Мы уже знаем как определяется прозрачность такого барьера:

D = D₀ e^{-4 π / h}

Если ширина потенциальной ямы равна α, а скорость движения электрона равна υ, то за 1 секунду электрон подойдет к барьеру υ/α раз.

ν = υ/α D - дает частоту перехода электрона в соседний атом

ν = υ/α D₀ e^{-4 π / h}

Величина τ обратная ν выражает среднее время пребывания электрона у определенного атома