Шпаргалка: Билеты по геометрии

Билет № 10.

Теорема 17.3 : если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Доказательство : пусть а₁ и а₂ - две параллельные прямые и a - плоскость, перпендикулярная прямой а₁ . Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а₂ . Проведем через точку А₂ пересечения прямой а₂ с плоскостью a произвольную прямую х₂ в плоскости a. Проведем в плоскости a через точку А₁ пересечения прямой а₁ с a прямую х₁ , параллельную прямой х₂ . Так как прямая а₁ перпендикулярна плоскости a, то прямые а₁ и х₁ перпендикулярны. По теореме 17.1(если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны) параллельные им пересекающиеся прямые а₂ и х₂ тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а₂ перпендикулярна любой прямой х₂ в плоскости a. А это значит, что прямая а₂ перпендикулярна плоскости a.

Теорема о противолежащих гранях параллелепипеда.