Шпаргалка: Математическая статистика

Условные математические ожидания и условные распределения. Св-ва условных мат. ожиданий. Аналоги формул полной вероятности и формулы Байеса для мат. ожиданий ГММЕ 173 ШВ 91.

Условным законом распределения д.с.в. h при заданном значении д.с.в. x =х_k называется набор условных вероятностей l=1,…,m.

Условным математическим ожиданием д.с.в. h при заданном значении д.с.в. x =х_k называется сумма . Имеет место равенство M [M( x ½h )] = M h . М (Р ( h = y_l | x =x_k )) = P( h = y_l ).

Достаточные статистики. Теорема Неймана-Фишера (критерий достаточности) СКТ 221.

Достаточной называется такая статистика t(x) , что для случайной величины x с распределением p(x, q ) условное распределение P( x | t( x ) = t₀ ) не зависит от параметра q (то есть через нее можно определить значение параметра q ).

Теорема . Статистика t(x) с распределением p(x, q )=g(t(x); q )h(x) является достаточной.

Статистические оценки. Св-ва оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность. Задача оптимального статистического оценивания СКТ 215.

Оценкой для независимой выборки (x₁ ,…,x_n ) называют статистику , предназначенную для использования вместо параметра q , в качестве его приближения, однозначно определяемому исходным распределением F из семейства распределений F _q (x) .

Несмещенной называется такая оценка , что ее мат. ожидание равно q .

Состоятельной называется последовательность оценок , сходящаяся по вероятности к q .

Эффективной называется такая оценка что ее дисперсия минимальна среди последовательности оценок .

Улучшение оценок с помощью достаточных статистик. Теорема Колмогорова Блекуэла Рао ВДВ СКТ 222.

Теорема Колмогорова Блекуэла Рао. Пусть t(х) - достаточная статистика семейства распределений p(x, q ) , а - несмещенная оценка параметра q с конечной дисперсией для некоторой выборки (x₁ ,…,x_n ) . Тогда условное мат. ожидание при фиксированном t(х) будет несмещенной оценкой q с дисперсией не превосходящей дисперсию .

Полные достаточные статистики и их использование для нахождения несмещенных оценок с минимальной дисперсией СКТ 222 БМС 142.

Полным семейством распределений G _q , зависящих от к-мерного параметра q называется такое семейство G_{q ,} что из равенства нулю для любой измеримой функции y(s), следует , что y(s)=0.

Полной называется статистика с полным семейством распределений G_q , индуцированным распределением генеральной совокупности G.

Теорема. Для полной достаточной статистики S и оценки q , оценка q _s =M( q |S) является единственной эффективной оценкой.

Неравенство Крамера-Рао-Фреше. Эффективные оценки в регулярном случае. Информация Фишера и ее св-ва СКТ 224.

Информацией Фишера для плотности p(x, q ) называют математическое ожидание .

Неравенство Рао-Крамера. Для семейства плотностей p(x, q ) и оценки с математическим ожиданием g( q ) таких, что и , имеет место неравенство .

Эффективностью оценки с математическим ожиданием g( q ) называется отношение .

Эффективной называется оценка, эффективность которой равна 1.

Метод моментов св-ва оценок СКТ 228.

Методом моментов называют способ нахождения оценок_к к=1,…,r, получаемых как решение системы m_k0 =m_k ( q ₁ ,…, q r), где , а m_k - моменты порядка к для независимой выборки с плотностью p(x, q ₁ ,…, q _n ).

Теорема. Непрерывные оценки _к к=1,…,r, получаемые методом моментов, состоятельны.

Асимптотические св-ва статистических оценок. Состоятельность, асимптотическая эффективность, асимптотическая нормальность СКТ 227 ВДВ 221.

Асимптотически эффективностью оценки _n называется конечным предел .

Асимптотически эффективной называется такая оценка, асимптотическая эффективность к-рой равна единице.

Асимптотически нормальной называется оценка, которая в пределе сходится к нормальному распределению.