Шпаргалка: Математическая статистика

Теорема. Пусть F₀ – функция распределения генеральной совокупности и g, S_n таковы, что , где h – дифференцируема в точке , , то , где x - н.р.с.в. с параметрами 0 и .

Асимптотические св-ва оценок максимального правдоподобия. Метод максимального правдоподобия. Оптимальные св-ва оценок СКТ 229 ГММЕ 541 ВДВ 221 ВДВ 249.

Оценкой максимального правдоподобия называется оценка, обращающая в максимум функцию правдоподобия: L(x; )=max _q L(x; q ), или .

Теорема. Если q ₁ < q < q ₂ , , , , и , где М не зависит от q, то уравнение правдоподобия имеет решение, которое в пределе сходится по вероятности к q ₀ . Эта оценка наибольшего правдоподобия асимптотически нормальна и асимптотически эффективна.

Основные понятия общей теории статистических решений: пр-во решений, функция потерь и функция риска. Байесовский и минимальный подходы к задачам статистических решений (БМС 120).

Байесовский подход состоит в представлении параметра q как случайной величины с некоторой плотностью q(t), называемой априорной .

Байесовской оценкой q ^~ , минимизирующей M( q - q ^~ )² является функция , где - апостериорное распределение q , , ¦_t (x) – функция правдоподобия, l - мера.

Минимальной называется такая оценка q^~ , что для любой другой оценки q, qÎQ.

Байесовские оценки при квадратичной функции потерь. Априорный и апостериорный риск. Сравнение с эффективными оценками.Нормальное распределение в Rⁿ . Эквивалентность различных определений и св-ва. ГММЕ 341 СКТ 164.

Нормально распределенным называется такой случайный вектор x, что его характеристическая функция равна , где, а – вектор, а В – симметрическая матрица положительно определенной КВАФ. Любое линейное преобразование нормально распределенного случайного вектора также является нормальным случайным вектором.

Теорема . Для того чтобы вектор x был нормально распределен, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление , где q _i – набор нормально распределенных н.о.р.с.в., g – некоторая матрица, M x _a =a _a .

Распределение хи квадрат. Стьюдента, Фишера и их использование в мат. статистике СКТ 169.

Распределение	Формула плотности	E	s
Геометрическое x Î Q	p(x)= q (1- q )x	(1- q )/ q	(1- q )/ q 2
Пуассона x Î Q		x	x
Нормальное x Î R		a	s 2
Гамма x>0
Хи квадрат с k степенями свободы х ³ 0
Стьюдента с k степенями свободы x Î R
Фишера х ³ 0

Независимость среднего арифметического и среднего квадратичного для независимых нормально распределенных случайных величин ГММЕ 413 СКТ 237.

Теорема . Статистики (выборочное среднее) и (дисперсия) незав. норм. р.с.в. независимы, случайная величина s² (n-1)/ s ² имеет распределение хи квадрат с (n-1) ^й степенью свободы.

Понятие доверительного интервала – интервальной статистической оценки и его хар-ки. Точные и асимптотические доверительные интервалы СКТ 234.

Доверительным интервалом для выборки с распределением p(x, q ) называется такой отрезок, что q принимает значение из этого отрезка с вероятностью 1-a, называемой доверительной вероятностью.

Асимптотическим доверительным интервалом уровня e называется такой интервал (q₁ , q₂ ), что .

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения СКТ 236.Доверительные интервалы для параметров биномиального распределения СКТ 240.Проверка статистических гипотез. Общие понятия: простые и сложные статистические гипотезы, критерии, ошибки 1го и 2го рода, размер, мощность критерия СКТ 197.

Статистической гипотезой называются предположения о значении параметра q для выборки с распределением p(x, q ).

Простой называется статистическая гипотеза, состоящая в том, что q = q ₀ .

Сложной называется статистическая гипотеза, предполагающая принадлежность q к некоторому мн-ву Q ₀ .

Ошибкой первого рода называется опровержение верной гипотезы.

Ошибкой второго рода называется принятие ложной гипотезы при существующей истинной.

Критерий - правило, по которому гипотеза Н будет отвергнута, если случайная величина принимает значение из критического мн-ва S.

S критерием проверки гипотезы называется критерий заключающийся в нахождении критического подмн-ва выборки, не котором гипотеза не верна.