Шпаргалка: Математический анализ

Dхz = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.

Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.

¶z = Lim Dxz

¶x Dx®0 Dx

-¶z = Lim f(x+Dx,y) - f(x,y)

¶xDx®0 Dx

Аналогично определяем частное производной по переменной у.

Нахождение частных производных.

При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).

(Лекция № 2)

Полный дифференциал ф-ции 2-х переменных.

z=f(x,y) в области D.

p(x,y) ÎD - рассматриваемая точка. Дадим х приращение Dх, у - Dу. Получим р1(х+Dх, у+Dу). Вычилим значение функции. Полным приращение функции называется разность:

Dz = f(p1)-f(p)

Dz = f(x+Dx,y+Dy) - f(x,y)

Опр. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная линейная часть приращения этой функции, если приращение можно преобразовать к виду:

Dz = ADx + BDy + a

А, В - не зависят от Dх, Dу;

a - зависит от Dх и Dу и при этом

Lima = 0

r®0 r

r - расстояние между точками р и р1

S = рр1 = ÖDх2 +Dу2Ø

a является бесконечно малой, более высокого порядка, чем r

При ументшении Dх и Dу a®0 быстрее, чем r. Из определения следует, что полный дифференциал функции равен

z = ADx + BDy

При малых Dх и Dу имеет место равенство Dz»dz.

Опр. Если функция z=f(x,y) имеет полный дифференциал в точке р, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема. Необходимые условия дифференцируемости функции.