Шпаргалка: Математический анализ

f¢y(x0,y0)=0

Пусть в точке р0 функция достигает max. Рассмотрим часную производную этой функции по у.

f¢y(x,y)=j¢(у)

При нахождении этой частной производной мы имеем дело с функцией, зависящей только от х, при этом эта функция в точке р0 достигает max, поэтому по теореме о существовании экстремума функции одной переменной имеем:

j¢( y0)=0 ®f¢y(x0,y0)=0, аналогично по х.

Опр. Точка р0 при этом наз. стационарной точкой (в которой часные производные равны нулю).

Из этого следует, что экстремум функция 2х переменных может достигать только в стационарных точках (если она диф-ма ), но не во всякой стационарной точке функция достигает экстремума, т.к это только необходимое условие, но недостаточное условие.

Теорема: Достаточное условие существования экстремума ф-ции 2х переменных.

Пусть ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р0 и эта точка явл. стационарной точкой , найдем часные производные 2ого порядка этой функции

r=¶2z/¶x2 s=¶2z/¶x¶y t=¶2z/¶y2

Вычислим в точке р0 значение выражения (rt-s2)po, если это выражение >0, то в т. р0 сущ. экстремум.

При этом если r>0 р0 -min; r<0 р0 -max

Если rt-s2<0 - экстремума нет.

rt-s2=0 - экстремум возможен, требуются дополнительные исследования.

Определение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.

Пусть задана ф-я z=f(x,y) в замкнутой области Д.

F(x,y)=0 - уравнение границы Д.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения ф-ции в этой области.

Эти значения функция может достигать либо в экстремальных точках внутри области, либо на границе области, поэтому решение задачи делится на 2 этапа:

1.Сначала находим стационарные точки внутри области. В этих тосках возможны экстремумы. Вычисляем зачение заданной функции в этой точке.

2.Определяем наиб. и наим. Значение функции на границе области.

3.Сравниваем полученное значение и выбираем наиб. и наим. знач.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения на границе области Д.

Пусть граница области имеет уравнение F(x,y)=0 -y=y(x) - на гр. обл. Д

z=f(x,y) = f[x,y(x)]=z(x) - является сложной функцией.

Необходимо найти min и maxz(x) на границе. Для этого надо найти экстремумы внутри области (достаточно найти точки, где возможны экстремумы и вычислить значение функции в этих точках).

Леция №4

Определение интеграла по фигуре.

Пусть дана фигура G , р - текущая точка на фигуре.