Шпаргалка: Математический анализ

Теорема: Если ф-я F(x,y,z) - непрерывна в т. р0(x0,y0,z0) и ее производная по zFz(x,y,z)¹0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам:

¶z/¶x=- F¢x(x,y,z)/F¢z(x,y,z)

¶z/¶y=-F¢z (x,y,z)/F¢y(x,y,z)

Док-во: Найдем полный дифференциал функции

dF(x,y,z)=¶F/¶x*dx+¶F/¶y*dy+¶F/¶x*dz

F(x0,y0,z0)=0-dF=0-

¶F/¶x*dx+¶F/¶y*dy+¶F/¶x*dz=0

dz=-(¶F/¶x)/(¶F/¶z)*dx-(¶F/¶y)/(¶F/¶z)*dy (*)

С другой стороны:

z=f(x,y), dz=¶z/¶x*dx+¶z/¶y*dy (**)

Сравнивая (*) и(**) -

¶z/¶x=-F¢x(x,y,z)/F¢z(x,y,z)

¶z/¶y=-F¢z (x,y,z)/F¢y(x,y,z)

Частные производные высшего порядка.

Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее частные производные.

¶z/¶x=f¢x(x,y)

¶z/¶y=f¢y(x,y)

В общем случае, эти производные также являются функциями 2х и можно искать их частные производные. При этом получаем часные производные 2-ого и более порядков.Производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными.

Теорема: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования.

Две смешанные частные роизводные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-я равны.

¶2z/¶x¶y=¶2z/¶y¶x - в следствии этого, при обозначении смешанных частных производных последовательность диф-я не указывается.

¶nz/¶xn-2¶y2

Экстремумы функции 2ух переменных.

Рассмотрим функцию 2х переменных z=f(x,y) в области Д, пусть р0(x0,y0) - внутренняя точка этой области.

Опр. Точка р0 наз. Точкой max функции, если в некоторой окресности этой точки выполняется неравенство:

f(x,y)< f(x0,y0)

min- наоборот

Теорема: Необходимое условие существования экстремума функции в точке р0.

Если ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р0 и имеет в этой точке экстремум, то часные производные функции в этой точке равны нулю.