Статья: Алгебраические кривые и диофантовы уравнения
(Дискриминантом кривой называется определённый многочлен от коэффициентов уравнения; в данном случае дискриминант равен
D = 4a3 c – a2 b2 – 18abc + 4b3 + 27c2 ;
условие D ¹ 0 является необходимым и достаточным условием регулярности кривой E.) Например, для кривой
E: y2 = x3 – 14x2 + 87x
группа кручения TE есть циклическая группа порядка 8, порождённая точкой P = (3,12). Другим примером служит кривая
E: y2 = x3 – 43x2 + 166
с циклической группой кручения порядка 7, порождённой точкой P = (3,8). Весьма занимательно и совсем несложно самостоятельно придумать и исследовать другие примеры.
Уже давно существовало предположение, подтверждавшееся всё новыми численными примерами, что порядок группы кручения ограничен. К 1960 г. было известно, что он не может принимать некоторых значений, например кратных 11, 14, 15, ... (см. [4 ]).
В 1976 г. Б. Мазур существенно продвинулся вперёд, доказав, что порядок всякой рациональной точки кручения равен 12 или не превосходит 10 (это уже в 1974 г. предполагал Э. Огг [12 ]). Тем самым была полностью выяснена структура группы TE .
| Имеется 15 возможностей: либо TE – циклическая группа, порядок которой равен 12 или не превосходит 10, либо она есть произведение группы Z2 на циклическую группу порядка 2, 4, 6 или 8. |
Выдающимся результатом Б. Мазура была завершена одна из глав теории эллиптических кривых, причём весьма неожиданно даже для некоторых специалистов, считавших, что над этой проблемой придётся работать ещё долгое время. Можно смело утверждать, что этот результат принадлежит к числу интереснейших математических результатов последних лет. Разумеется, в рамках настоящей лекции невозможно указать даже хотя бы идею метода доказательства Мазура. Да это и не входит в мою задачу.
Я хотел только попытаться пройти вместе с вами небольшую часть пути развития одной математической проблемы – от Пифагора через Диофанта и гипотезу Ферма к рациональным точкам эллиптических кривых – и показать, как в ходе исследования проблему видоизменяли, обобщали и снова конкретизировали, частично решали и возводили на её основе новые теории. Пусть нематематики простят мне, что время от времени я вынужден был обращаться к математическим понятиям и формулам.
Примечания
1.
Формально-математически это означает отсутствие особенностей у соответствующей комплексной проективной кривой, представляющей собой тем самым поверхность Римана рода g > 1. назад к тексту
2.
Случаи, когда квадрика вырождается в точку (как это будет, например, для кривой, задаваемой уравнением x² + y² = 0), не принимаются во внимание. назад к тексту
3.
Происхождение этого названия имеет долгую историю. Уже в XVII в. при вычислении длин дуг эллипсов и других кривых математики столкнулись с интегралами вида
| g | |
| ò | dx Öf (x) |
| 0 |
где f (x) – многочлен степени не выше 4. Исследование этих эллиптических интегралов начал Эйлер. Абель и независимо от него Якоби рассмотрели обратные функции для этих интегралов. Следуя Якоби, их стали называть эллиптическими функциями. Выяснилось, что это двоякопериодические мероморфные функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению вида
X ´ ² – f (X) = 0.
Исходя из этого уравнения, можно показать, что эллиптические функции – это в точности функции, мероморфные на эллиптических кривых (понимаемых как компактные римановы поверхности). назад к тексту
4.
Видоизменив метод Грюнвальда и Циммерта, К.Наката нашёл недавно пример кривой ранга ³9 (К.Nakata, Manuscripta Math. 29 (1979)). назад к тексту
Литература
(Превосходные библиографии имеются в [4] и [17]. По проблеме Ферма полезно сравнить [5] и [15].)
Список литературы
И.Г.Башмакова, Диофант и диофантовы уравнения. – М: Наука, 1972. назад к тексту
K.L.Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen, J. reine angew. Math. 52 (1856). назад к тексту
В.J.Birch, H.P.F.Swinnerton-Dyer, Notes on elliрtic curves. II, J. reine angew. Math. 218 (1965). назад к тексту
W.S.Cassels, Diophantine equations with special reference to elliptic, J. London Math. Soc. 41 (1966). назад к тексту
H.M.Edwards, Fermat's Last Theorem, Springer Graduate Texts in Mathematics, vol.50, Springer-Verlag, New York – Heidelberg – Berlin, 1977. [Имеется перевод: Г.Эдвардс. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. – М.: Мир, 1980.] назад к тексту
F.J.Grunewald, R.Zimmert, Über einige rationale elliptische Kurven mit freiem Rang ³8, J. reine angew. Math. 296 (1977). назад к тексту
E.Lutz, Sur l'equation y² = x³ – Ax – B dans les corps p-adiques, J. Math. 177 (1937). назад к тексту
B.Mazur, Modular curves and the Eisenstein ideal, Publ. Math. IHES 47 (1977). назад к тексту
L.I.Mordell, On the rational solutions of the indeterminant equations of the third and fourth degrees, Proc. Cambridge Phil Soc. 21 (1922). назад к тексту
T.Nagell, Solution de quelques problèmes dans la théorie arithmétique des cubiques planes du premier genre, Vid. Akad. Skrifter Oslo 1 (1935), No. 1. назад к тексту
A.Neron, Problèmes arithmétiques et géométriques rattachés à la notion de rang d'une courbe algébriques dans un corps, Bull. Soc. Math. France 80 (1952). назад к тексту