Статья: Дифференциальные уравнения неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам

Отсюда следует, что давление воздуха вдоль короткого трубопровода распределяется по линейному закону, так как для коротких трубопроводов воздух является несжимаемым. В этом случае давление вдоль трубопровода распределяется так же, как и в стационарном режиме.

Перепишем выражение (30) для начального сечения воздуховода (х = 0). При этом учтем, что на вход воздуховода скачком подается постоянное давление ро = constant. В операторной форме Лапласа – Карсона это давление имеет выражение: p(0,q) = po. После подстановки в выражение (30) указанных значений величин и после преобразований получим формулу операторного расхода воздуха в начальном сечении воздуховода, т. е.

(31)

Применим к операторному выражению (31) обратное преобразование Лапласа – Карсона [8, формула 21.3]. Тогда получим выражение расхода воздуха в функции времени (t) в начальном сечении короткого воздуховода, а значит и расхода воздуха на протяжении всего трубопровода, т. е.

(32)

где Rаэр = 2аρL/S – линеаризованное аэродинамическое сопротивление короткого воздуховода длиной L [(1/c)∙(кг/м3)∙(м/м2) = =(кг∙м/с2)∙(с/м5) = Н∙с/м5].

Формулу (32) можно записать в относительных единицах (в безразмерном виде), а именно:

(33)

График расхода воздуха в относительных единицах, формула (33), показан на рис.3.

Рис.3. График изменения во времени расхода воздуха по длине

короткого трубопровода. Q*(t) – расход воздуха в относительных

единицах, 2at – безразмерное время.

Расход воздуха, обозначенный графиком на рис. 3, является одним и тем же по всей длине короткого воздуховода. График распределения давления по длине короткого воздуховода в приведенном примере во времени не меняется. Давление по длине короткого воздуховода от его начала до конца распределяется по линейному закону. Наибольшее постоянное во времени значение давления находится в начале воздуховода; а давление, равное нулю, – на конце воздуховода.

Заключение. Для того чтобы получить (из нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных) линейную систему уравнений, осуществлена линеаризация формулы Дарси – Вейсбаха. При этом использовано равенство площадей