Статья: Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве
2.3. Пусть x1 < 0. Система, описывающая элемент у Î |Х|, на этот раз имеет вид:
Выполнив аналогичные пункту 2.2 действия, получим X ≤ у1 ≤ X – х1. В этом случае y1 = Х + λ|x1|, где 0 ≤ λ ≤ 1. Подставляя последовательно значение у1 в систему, получаем
и 
.
Откуда выводим:
|xk| = |yk| + |yk + xk| (
).
Отсюда следует, что – yk и (xk + yk) – одного знака. Вновь получаем, что уk = –λkxk , 0≤λk≤1. При этом =
= .
Итак, при х1 < 0 имеем:
где 
, 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1}.
2.4. Общий случай. Для произвольного элемента х = (x1, ..., xn) и круглого регулярного конуса Kj (1) имеем:
где 
, 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
|
.
3. Нахождение расстояния от элемента до конуса
Пусть элемент x принадлежит конусу К1, т.е. х1 ≥ X. В этом случае d(x, K1) = 0, а ближайшим элементом конуса является он сам.
Пусть элемент х принадлежит конусу – К1, т.е. -х1 ≥ X. В этом случае очевидно d(x, K1) = ||х||, а ближайшим элементом конуса является ноль.
Пусть х1 = 0 и элемент х не принадлежит конусу ±К1. Покажем, что d(x, K1) = ||х–||, а ближайшим элементом конуса является х+. Согласно следствию 2.2.13 [5], для этого необходимо найти функционал f Î К*1 такой, что ||f|| = 1, f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||,
где x+ – x- = x, ||x+ + x-|| = ||x||.
В качестве такого функционала выберем f=(1, –sgn x2, ...,–sgn xn). Для любого элемента конуса аÎК1 справедливо f(а)=a1 –
, т. е. f положительный функционал. Очевидно, что его норма равна единице. Элементы x+ и x–, вычисляемые по формулам 2.1, удовлетворяют условиям следствия 2.2.14 [5]. Кроме того,
,
.