Статья: Исторические проблемы математики. Число и арифметическое действие

Всякий раз, когда встречается ситуация, описание которой, в силу ее сложности, затруднительно и требует многих слов, описание заменяется специальным термином (наименованием ситуации) с целью достижения краткости и связанной с ней ясности во всякого рода суждениях об этой ситуации, в которых она должна фигурировать в качестве члена предложения.

Сказанное относится, в частности, и к ситуациям, связанным с наличием интересующих нас объектов (ИНО).

Так, например, отсутствие ИНО обозначается термином "ноль", говорят: "имеется ноль объектов" или "задано число ноль" вместо: "ИНО не имеется", "ИНО отсутствуют".

Другая интересующая нас ситуация (ИНС): "ИНО имеется и, кроме него, нет никаких других объектов, подпадающих под определение ИНО" коротко обозначается термином "один", говорят: "имеется один объект" или "задано число один", не прибегая к описанию ситуации.

ИНС: "ИНО имеется и кроме него имеется еще и другой объект, подпадающий под определение ИНО, и, кроме упомянутых, никаких других объектов, подпадающих под определение ИНО, не имеется" обозначается термином "два", говорят: "имеется два объекта" или "задано число два".

Следующая ИНС: "имеется два ИНО и кроме них имеется еще один объект, подпадающий под определение ИНО и, кроме упомянутых, никаких других объектов, подпадающих под определение ИНО, не имеется" обозначается термином "три", говорят еще: "имеется три ИНО" или "задано число три" и т.д.

Числа, таким образом, это наименования различных ИНС, касающихся наличия ИНО.

Итак, мы знаем, что такое число.

Определения математики

Здесь все обстоит очень просто.

В математике нет прямого определения чисел. Ни предварительного, требующего уточнений, как у Евклида, ни окончательного. Вообще никакого.

Есть утверждения о “многовековом опыте абстрагирования и обобщений” человечества, т.е. не математиков. Уживающиеся с противоположными утверждениями о неспособности к абстрагированию “дикарей”, т.е. того же человечества на большей части его истории.

Изредка об этом говорится прямо. Например:

“Понятие о натуральном числе является одним из простейших понятий. Его можно пояснить лишь предметным показом.

Примечание: Евклид (III в до н.э.), определял число (натуральное) как "множество, составленное из единиц"; такого рода определения можно найти и во многих нынешних учебниках. Но слово "множество (или "собрание" или "совокупность" и т.п.) отнюдь не понятнее слова "число"” [ 1 ].

Здесь термин “элементарная математика” использован для введения в заблуждение. Чтобы изучающий постеснялся задавать какие-либо вопросы. То есть для его отключения, поскольку здесь все ведь “элементарно”. Из-за такого намеренного отключения вопрос этот до сих пор остается все еще не решенным. Хотя освоивший “элементарную” математику считается имеющим не элементарное, а уже “среднее” образование. Но и при “высшем” образовании к этому больше не возвращаются. Такой вопрос считаются вполне изученным еще на “элементарном” уровне. Или предметом излишних философских умствований.

Это первый универсальный способ сокрытия незнания: то, что не удается определить, следует называть очевидным или элементарным.

В математике “знание чисел” сводится к знанию правил обращения с ними. Обеспечивающих выполнение “арифметических действий”. Смысл которых тоже может быть не известен.

Вот сообщение того же источника:

“Понятие о том, что такое сложение, возникает из таких простых фактов, что оно не нуждается в определении и не может быть определено формально.

Примечание: Часто даются "определения" вроде таких: "сложение есть действие, посредством которого несколько чисел соединяются в одно", или "действие, посредством которого находится, сколько единиц содержится в нескольких числах вместе". Но тот, кто не знал бы, что значит "сложить", не знал бы и что такое "соединить числа", так что все подобные "определения" сводятся лишь к замене одних слов другими”.

Взамен объяснения смысла сложения дается утверждение, что все это “простые факты”. Хотя с вопроса именно о таком “простом факте” и начинается с подачи Лейбница критика Канта [ 2 ]. Вылившаяся в толстый том философских рассуждений. Это как раз по Канту слагаемые “соединяются в одно число” (сумму), как бы сливаясь или “синтезируясь” в нем, подобно атомам в составе молекулы. Такая поверхностная аналогия не дает реального понимания смысла данного действия.

Приведенная цитата в части отсутствия определения, конечно, правильна.

Но утверждение, что действие сложения “не может быть определено формально” никак отсюда не вытекает и остается всего лишь мнением автора. Чем-то вроде “неизвестно, следовательно, невозможно”. Простая логическая ошибка.

Можно привести много цитат, характеризующих нынешнее понимание математики.

Автор, имеющий неосторожность озаглавить свое сочинение “Что такое число?”, вынужден сразу же уходить от прямого ответа:

“Когда школьник впервые знакомится с математикой, ему говорят, что это – наука о числах и геометрических фигурах. Вузовский курс математики обычно начинается с аналитической геометрии, основная цель которой – выразить геометрические понятия на языке чисел. Таким образом, получается, что числа – это единственный предмет изучения в математике.

Правда, если вы откроете современный научный журнал и попробуете прочитать какую-нибудь статью по математике, то вполне вероятно, что вы не встретите в этой статье ни одного числа “в чистом виде”. Вместо них речь идет о множествах, функциях, операторах, категориях, мотивах и т.д. Однако, во-первых, почти все эти понятия так или иначе опираются на понятие числа, а, во-вторых, конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел.

Поэтому мне кажется небесполезным обсудить со студентами-математиками вопрос, поставленный в заголовке этой книги.

Разумеется, одно только описание исторического развития понятия числа или обсуждение его философского смысла требует много времени и места. Об этом уже написано немало толстых книг. Моя цель более проста и конкретна – показать, какой смысл придается понятию числа в современной математике, рассказать о задачах, которые возникают в связи с разным пониманием чисел, и о том, как эти задачи решаются. Конечно, в каждом случае я смогу лишь кратко описать самые начала соответствующей теории. Для тех читателей, которые захотят разобраться в ней подробнее, я указываю подходящую литературу” [ 3 ].

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--