Статья: Исторические проблемы математики. Число и арифметическое действие
Рациональное и иррациональное числа есть выражение “абсолютно точного значения” координаты. Выражаемое тоже дробью, но уже “бесконечной”, в соответствии с определением “точности измерений”. Здесь тоже нет никаких “новых чисел” [ 8 ].
Комплексные числа есть пара чисел, являющихся множителями вектора, одно из которых не вызывает его угловых поворотов, другое же вызывает [ 9 ] .
Их тоже, конечно, можно назвать “числом особого рода”, но с точки зрения логики оснований для этого решительно никаких, кроме разве что экономии терминов, имеющих совершенно не совпадающий смысл.
Так в принципе можно назвать “тоже числом” что угодно, хоть “Войну и мир” Л. Толстого, тоже определяемой парой чисел, например, слов и букв.
А именованные числа есть просто результат измерения разными эталонами. Здесь тоже нет никаких “новых чисел”.
Поэтому определение чисел как наименований ИНС, касающихся наличия ИНО, является всеобщим и полным. Дающим окончательное их понимание. Никаких других чисел, кроме указанных в данном определении, не существует. В математике они называются “натуральными числами”.
Понятие чисел, будучи исходным или первичным, действительно является довольно простым. Однако же не настолько, чтобы считать, что числа и вовсе не требуют или не имеют определений.
Использование одного термина для обозначения логически разнородных понятий, конечно же, затрудняет понимание. Создавая впечатление не существующей глубины, недоступной уму обычного человека. Вызванное простым нарушением логики построения.
Система счисления
Числа являются просто наименованиями ИНС. Поэтому их изучение сводится к разработке способа присвоения наименований. Их может быть всего два – произвольное и непроизвольное присвоения. Причем применяются сразу оба. Образуя комбинированный способ, именуемый системой счисления СС.
В состав ИНС всегда может быть включен один или не один дополнительный ИНО, в свою очередь образующий некоторую ИНС. Различия ИНС, получаемых посредством такого соединения других ИНС, могут быть бесконечны.
Проблемой СС является именно это бесконечное разнообразие ИНС, требующее такого же разнообразия наименований. Теоретически нетрудно вообразить это бесконечное разнообразие. Однако его практическое осуществление невозможно, т.к. такой список не может быть окончен, не то чтобы выучен. Поэтому вся бесконечность различных ИНС должна охватываться конечным набором различных наименований. Возможности памяти тоже ограничены и могут потребовать небольшого числа различных наименований. Поэтому в письменной записи применяется всего лишь десять произвольных наименований: 0, 1, 2, …, 9, хотя их может быть и меньше, например, 0, 1, или больше десяти.
Прочие наименования являются описаниями способа получения ИНС.
Они образуются следующим образом.
Произвольные наименования используются неоднократно для обозначения разных ИНС. Эти ИНС различаются между собой не наличием ИНО, которое при совпадении произвольных наименований, по определению, одинаково, а самими ИНО.
Исходный ИНО является произвольным, все остальные не произвольны и образованы ИНС.
Эти ИНС каждый раз образованы наибольшей из предыдущих ИНС, включающей один дополнительный ИНО.
ИНС 1 рода или ИНС1 есть ИНС, образуемая ИНО 1 рода (ИНО1), который может быть произвольно выбираемым объектом. ИНС1 имеет произвольно задаваемые наименования: 0, 1, 2, 3, …, 9.
ИНС 2 рода или ИНС2 образована ИНО2, в свою очередь являющимся ИНС1 = 9ИНО1 + 1ИНО1 (“+” означает включение, “=” - тождественность) или ИНО2 = (9 + 1) ИНО1.
ИНС2 имеет те же произвольные наименования, что ИНС1: 0, 1, 2, 3, …, 9.
ИНС 3 рода (ИНС3) есть ИНС, образованная ИНО3 = (9 + 1) ИНО2. В свою очередь ИНС3 носит те же произвольно задаваемые наименования, что ИНС1, ИНС2: 0, 1, 2, 3, …, 9.
ИНС4 есть ИНС, образованная ИНО4 = (9 + 1) ИНО3, и т.д.
Таким образом, используя всего 10 исходных произвольных наименований, относящихся к разным ИНС1, ИНС2 и т.д. можно получить сколько угодно составных наименований произвольно задаваемым ИНС, различаемым между собой.
Итак, кроме произвольных наименований в пределах от 0 до 9 имеются составные наименования.
Составные наименования является описаниями способа получения ИНС.
Арифметическое действие
Одна и та же ИНС может быть получена разными способами, имея при этом разные описания.
Например, 7 + 5 или 12. В первом случае ИНС получена объединением ИНС1= 7 ИНО1 с ИНС1 = 5 ИНО1, а во втором - объединением ИНС2 = 1 ИНО2 с ИНС1 = 2 ИНО1.
В итоге одна и та же ИНС имеет разные описания, определяемые способом ее получения. Что и выражается равенством: ИНС = 7 + 5 = 12.
В зависимости от способа ее получения, любая ИНС может иметь не одно, а множество разных описаний.