Статья: Великая теорема Ферма два коротких доказательства

Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом:

В равенстве числа и не могут быть одновременно целыми положительными, если .

Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:

· Равенство справедливо для взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел и , т.е. два числа – всегда нечетные.

· Существуют числа и , или , то есть для произвольно выбранных натуральных существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел и , удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых числа и также будут целыми.

Вариант№1

Равенство (1)

путем последовательного деления на числа и всегда преобразуется в два многочлена (уравнения) -ой степени относительно :

(2)

(3)

Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел и . По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться:

, , … , (4)

Из (1) и (4) следует , то есть число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых , , и .

Из равенства свободных членов следует:

,или,или

(5)

Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим:

(6)

или, если , сократив на , получим:

(7)

Из равенства (7) следует, что для числа и не могут быть одновременно положительными.

Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы:

· для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных , , и ;

· многочлены (2) и (3) для и натуральных и не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители и равенства (1) являются иррациональными, откуда следует иррациональность числа ;

· числа , и в равенстве (1) для не могут быть одновременно рациональными.

Для противоречие исчезает, коэффициенты при равны 1, а равенство свободных членов после подстановки значений и обращается в тождество:

. (8)

Если правую и левую части равенства (5) обозначить соответственно через и , где и - целые положительные числа, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно :

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--