Статья: Використання енергії хвиль системою осцилюючих поверхневих розподілів тиску

де поверхневий інтеграл взятий над замкнутою поверхнею, яка включає область. Зокрема, розглянемо поверхневий інтеграл:

де інтегрування по і-й та j-й внутрішній вільній поверхні, а також по твердій границі SB. Тепер поверхня інтегрування (А20) може бути закрита більшим, вертикальним круглим циліндром Sc, який охоплює всі вільні поверхні та тверді границі і тягнеться від вільної поверхні вниз. Починаючи з y і , y j поведінка подібна убігаючій хвилі на більших відстанях, не дає додаткового внеску в (А20), отримується з інтегралу по Sc. Також, немає внеску від інтегралу по SF або по Sk, k = 1, ..., N, k ¹і, k ¹ j. Отже з (А19) витікає, що:

Снову внесок в (А20) від Su зникає на підставі умови (А3) і таким чином з (А20), (А11): показує що

На цій стадії зручно, слідуючи Ньюману (1976), ввести функцію Коші:

Оскільки y і та exp {- ik (x cosq + y sin q) + kz} - гармонічні функції, які задовольняють (А5), з (А19) витікає, що Hі(q) може бути записане як негативн величина того ж підінтегрального виразу проінтегрованого по Sc. Це дозволяє поведінку y і в далекій області, яка дана в (А15) використати для отримання:

де

.

Якщо, тепер R®¥, з методу стаціонарної фази випливає, що:

таким чином, що функція Коші безпосередньо пов’язана з розсіювальною амплітудою потенціалу y і в далекій області.

Тепер, прямою підстановкою:

з ф0 дано (А16).

Ми можемо замінити ф0 - фd – фs. Але поверхневий інтеграл, який включає фs зникає, якщо, використовуючи (А19), ми заміняємо його негативним поверхневим інтегралом по Sj та Sc, ми знаходимо, що внеску від кожного y і та фs немає, і задовольняє умови (А5) і (А6).

Ми залишились з :

Маючи на увазі (А24), ми бачимо, що об’єм потоку через Sі через плюс дифрагованої області набігаючої хвилі пропорційний поведінці розсіяному потенціалу в далекій області в напрямку, протилежному до такої сукупності набігаючих хвиль, внаслідок однорідного коливального розподілу тиску через Sі. Цей результат відповідає відношенням Хакінда для руху твердих тіл (Ньюман 1976, рівняння (45).

Далі, ми розглядаємо:

де * позначає сполучений комплекс. Оскільки y і , y*j задовольняють (А3) ми маємо:

де використані (А11), (А13), (А22).